HEPTADECAGON: EGENSKAPER, DIAGONALER, OMKRETS, OMRÅDE - MATTE - 2026

Den heptadekagon er et regulært polygon med 17 sider og 17 noder. Konstruksjonen kan gjøres i euklidisk stil, det vil si bare ved å bruke linjalen og kompasset. Det var det store matematiske geniet Carl Friedrich Gauss (1777-1855), knapt 18 år gammel, som fant prosedyren for dens konstruksjon i 1796.

Tilsynelatende var Gauss alltid veldig tilbøyelig til denne geometriske figuren, i en slik grad at fra den dagen han oppdaget konstruksjonen bestemte han seg for å være matematiker. Det sies også at han ønsket at heptadecagon skulle bli gravert på gravsteinen.

Figur 1. Heptadecagon er en vanlig polygon med 17 sider og 17 hjørner. Kilde: F. Zapata.

Gauss fant også formelen for å bestemme hvilke vanlige polygoner som har muligheten til å konstrueres med linjal og kompass, siden noen ikke har eksakt euklidisk konstruksjon.

Kjennetegn på heptadecagon

Som for dens egenskaper, som enhver polygon, er summen av de indre vinklene viktig. I en vanlig polygon med n sider er summen gitt ved:

Denne summen, uttrykt i radianer, ser slik ut:

Fra formlene ovenfor kan det lett trekkes at hver indre vinkel i en heptadecagon har et nøyaktig mål α gitt av:

Det følger at den indre vinkelen omtrent er:

Diagonaler og omkrets

Diagonaler og omkrets er andre viktige aspekter. I en hvilken som helst polygon er antall diagonaler:

D = n (n - 3) / 2 og for heptadecagon, som n = 17, har vi da at D = 119 diagonaler.

På den annen side, hvis lengden på hver side av heptadecagon er kjent, blir omkretsen til den vanlige heptadecagon funnet bare ved å legge til 17 ganger den lengden, eller det som tilsvarer 17 ganger lengden d på hver side:

P = 17 d

Omkretsen av heptadecagon

Noen ganger er bare radius r til heptadecagon kjent, så det er nødvendig å utvikle en formel for dette tilfellet.

For dette formål introduseres begrepet apotem. Apoten er segmentet som går fra midten av den vanlige polygon til midtpunktet på den ene siden. Apoten i forhold til den ene siden er vinkelrett på den siden (se figur 2).

Figur 2. Delene av en vanlig polygon med radius r og dens apotem er vist. (Egen utdyping)

Videre er apoten en halvering av vinkelen med sentral toppunkt og sider på to påfølgende vertikater av polygonen, dette gjør at vi kan finne et forhold mellom radius r og siden d.

Hvis den sentrale vinkelen DOE kalles β og tar i betraktning at apotemet OJ er en bisektor, har vi EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), hvorfra vi har et forhold til å finne lengden d på siden av en polygon kjent sin radius r og sin sentrale vinkel β:

d = 2 r Sen (β / 2)

Når det gjelder heptadecagon β = 360º / 17, har vi:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Til slutt oppnås formelen for omkretsen av heptadecagon, kjent dens radius:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

Omkretsen til en heptadecagon ligger nær omkretsen av omkretsen som omskriver den, men verdien er mindre, det vil si at omkretsen til den omskrevne sirkelen er Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Område

For å bestemme området for heptadecagon vil vi referere til figur 2, som viser sidene og apoten til en vanlig polygon med n sider. I denne figuren har trekanten EOD et område som er lik basen d (siden av polygon) ganger høyden a (polygonets polote) delt med 2:

EOD-område = (dxa) / 2

Så, å kjenne apotemet til heptadecagon og siden d av det samme, er området:

Heptadecagon-området = (17/2) (dxa)

Område gitt side

For å få en formel for området av heptadecagon å kjenne lengden på sytten sider, er det nødvendig å få et forhold mellom lengden på apoten a og siden d.

Med henvisning til figur 2 oppnås følgende trigonometriske forhold:

Brun (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, hvor β er den sentrale vinkelen DOE. Så apotemet kan beregnes hvis lengden d på siden av polygon og den sentrale vinkelen ß er kjent:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Hvis dette uttrykket nå er erstattet med apoten, i formelen for området med heptadekagon oppnådd i forrige seksjon, har vi:

Heptadecagon-området = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Å være β = 360º / 17 for heptadecagon, så vi har endelig ønsket formel:

Heptadecagon-området = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Område gitt radius

I de foregående seksjoner var det funnet et forhold mellom siden av en vanlig polygon og dens radius r, og dette forholdet var følgende:

d = 2 r Sen (β / 2)

Dette uttrykket for d er satt inn i uttrykket oppnådd i forrige seksjon for området. Hvis relevante utskiftninger og forenklinger gjøres, oppnås formelen som gjør det mulig å beregne arealet til heptadecagon:

Heptadecagon-området = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Et omtrentlig uttrykk for området er:

Heptadecagon-området = 3.0706 (r ² )

Som forventet er dette området litt mindre enn området med sirkelen som omskriver heptadekagon A _circ = π r ² ≈ 3.1416 r ² . For å være nøyaktig er det 2% mindre enn for den omskrevne sirkelen.

eksempler

Eksempel 1

For å svare på spørsmålet er det nødvendig å huske forholdet mellom siden og radiusen til en vanlig n-sidet polygon:

d = 2 r Sen (180º / n)

For heptadecagon n = 17, slik at d = 0,3675 r, det vil si radiusen til heptadecagon er r = 2 cm / 0.3675 = 5.4423 cm eller

10,8844 cm i diameter.

Omkretsen til en 2 cm lang heptadecagon er P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Eksempel 2

Vi må referere til formelen vist i forrige seksjon, som lar oss finne området til en heptadecagon når den har lengden d på siden:

Heptadecagon-området = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Ved å erstatte d = 2 cm i den forrige formelen, oppnår vi:

Areal = 90,94 cm

referanser

1. CEA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematikk 2. Grupo Redaksjonell Patria.
3. Freed, K. (2007). Oppdag polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generaliserte polygoner. Birkhauser.
5. Iger. (SF). Matematikk Første semester Tacaná. Iger.
6. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen og Hornsby. (2006). Matematikk: resonnering og applikasjoner (tiende utgave). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematikk 5. Redaksjonell progreso.
9. Sada, M. 17-sidig vanlig polygon med linjal og kompass. Gjenopprettet fra: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadekagon. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com