- Hva er dimensjonene?
- Tredimensjonalt rom
- Den fjerde dimensjonen og tiden
- Koordinatene til en hypercube
- Brett ut en hypercube
- referanser
En hyperkube er en kube med dimensjon n. Det spesielle tilfellet av den firedimensjonale hypercube kalles en tesserakt. En hypercube eller n-cube består av rette segmenter, alle med samme lengde som er ortogonale i hjørnene.
Mennesker oppfatter tredimensjonalt rom: bredde, høyde og dybde, men det er ikke mulig for oss å visualisere en hyperkube med en dimensjon større enn 3.
Figur 1. En 0-kube er et punkt, hvis det punktet strekker seg i en retning en avstand a danner en 1 kube, hvis den 1 kuben strekker seg en avstand a i den ortogonale retningen har vi en 2 kube (fra sidene x til a), hvis 2-kuben strekker seg en avstand a i den ortogonale retningen, har vi en 3-kuben. Kilde: F. Zapata.
På det meste kan vi lage projeksjoner av den i tredimensjonalt rom for å representere den, på en lignende måte som hvordan vi projiserer en kube på et plan for å representere den.
I dimensjon 0 er den eneste figuren poenget, så en 0-kube er et punkt. En 1-kube er et rett segment, som dannes ved å bevege et punkt i en retning i avstand a.
For sin del er en 2-kube en firkant. Den er konstruert ved å forskyve 1-kuben (segmentets lengde a) i y-retningen, som er ortogonal til x-retningen, en avstand a.
3-kuben er den vanlige kuben. Den er bygget fra torget ved å bevege den i tredje retning (z), som er ortogonal i x- og y-retningen, en avstand a.
Figur 2. En 4-kube (tesseract) er utvidelsen av en 3-kube i den ortogonale retningen til de tre konvensjonelle romretningene. Kilde: F. Zapata.
4-kuben er tesserakten, som er bygget fra en 3-kube som beveger den ortogonalt, en avstand a, mot en fjerde dimensjon (eller fjerde retning), som vi ikke kan oppfatte.
En tesserakt har alle sine rette vinkler, den har 16 hjørner, og alle kantene (i alt 18) har samme lengde a.
Hvis lengden på kantene til en n-kube eller hyperkube med dimensjon n er 1, er det en enhetshyperkube, der den lengste diagonalen måler √n.
Figur 3. En n-kube er oppnådd fra en (n-1) -kube som forlenger den ortogonalt i neste dimensjon. Kilde: wikimedia commons.
Hva er dimensjonene?
Dimensjoner er frihetsgrader, eller mulige retninger som et objekt kan bevege seg i.
I dimensjon 0 er det ingen mulighet til å oversette, og det eneste mulige geometriske objektet er poenget.
En dimensjon i det euklidiske rommet er representert av en orientert linje eller akse som definerer den dimensjonen, kalt X-aksen. Skillet mellom to punkter A og B er den euklidiske avstanden:
d = √.
I to dimensjoner er rommet representert av to linjer orientert ortogonalt til hverandre, kalt X-aksen og Y-aksen.
Plasseringen til et hvilket som helst punkt i dette todimensjonale rommet er gitt av dets par kartesiske koordinater (x, y), og avstanden mellom to punkter A og B vil være:
d = √
Fordi det er et rom der Euclids geometri blir oppfylt.
Tredimensjonalt rom
Tredimensjonalt rom er det rommet vi beveger oss i. Den har tre retninger: bredde, høyde og dybde.
I et tomt rom gir de vinkelrette hjørnene disse tre retningene, og til hver enkelt kan vi knytte en akse: X, Y, Z.
Dette rommet er også euklidisk, og avstanden mellom to punkter A og B beregnes som følger:
d = √
Mennesker kan ikke oppfatte mer enn tre romlige (eller euklidiske) dimensjoner.
Fra et strengt matematisk synspunkt er det imidlertid mulig å definere et n-dimensjonalt euklidisk rom.
I dette rommet har et punkt koordinater: (x1, x2, x3,… .., xn), og avstanden mellom to punkter er:
d = √.
Den fjerde dimensjonen og tiden
Faktisk, i relativitetsteorien, blir tiden behandlet som en dimensjon til og en koordinat er assosiert med den.
Men det må avklares at denne koordinaten knyttet til tid er et tenkt tall. Derfor er separasjonen av to punkter eller hendelser i romtid ikke euklidisk, men følger heller Lorentz-metrikken.
En firedimensjonal hypercube (tesserakten) lever ikke i romtid, den tilhører et firedimensjonalt euklidisk hyperrom.
Figur 4. 3D-projeksjon av en firdimensjonal hypercube i enkel rotasjon rundt et plan som deler figuren fra foran til venstre, tilbake til høyre og fra topp til bunn. Kilde: Wikimedia Commons.
Koordinatene til en hypercube
Koordinatene til toppunktene til en n-kube sentrert ved opprinnelsen oppnås ved å gjøre alle mulige permutasjoner av følgende uttrykk:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1, …., ± 1)
Hvor a er lengden på kanten.
-Den volum av en n-kube med kant en er: (a / 2) n (2 n ) = a n .
-Den lengste diagonalen er avstanden mellom motsatte hjørner.
-Følgende er motsatte vertekser i et kvadrat : (-1, -1) og (+1, +1).
-Og i en kube : (-1, -1, -1) og (+1, +1, +1).
-Den lengste diagonalen av en n-kube måler:
d = √ = √ = 2√n
I dette tilfellet ble siden antatt å være a = 2. For en n-kube av siden til enhver vil det være:
d = a√n.
-En tesseract har hver av sine 16 hjørner koblet til fire kanter. Følgende figur viser hvordan verteksene er koblet sammen i en tesserakt.
Figur 5. De 16 hjørnene til en firedimensjonal hypercube og hvordan de er koblet sammen er vist. Kilde: Wikimedia Commons.
Brett ut en hypercube
En vanlig geometrisk figur, for eksempel en polyhedron, kan brettes ut til flere figurer med mindre dimensjonalitet.
Når det gjelder en 2-kube (en firkant) kan den deles inn i fire segmenter, det vil si fire 1-kube.
Tilsvarende kan en 3-kube brettes ut i seks 2-terninger.
Figur 6. En n-kube kan brettes ut i flere (n-1) -rør. Kilde: Wikimedia Commons.
En 4-kubus (tesseract) kan brettes ut i åtte 3-terninger.
Følgende animasjon viser utfoldelsen av en tesserakt.
Figur 7. En 4-dimensjonal hypercube kan brettes ut i åtte tredimensjonale terninger. Kilde: Wikimedia Commons.
Figur 8. Tredimensjonal projeksjon av en firedimensjonal hypercube som utfører en dobbel rotasjon rundt to ortogonale plan. Kilde: Wikimedia Commons.
referanser
- Vitenskapelig kultur. Hypercube, visualiserer den fjerde dimensjonen. Gjenopprettet fra: culturacientifica.com
- Epsilons. Firedimensjonal hypercube eller tesseract. Gjenopprettet fra: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. En metode for å oppnå en tesserakt fra utviklingen av en hypercube (4D). Gjenopprettet fra: researchgate.net
- Wikibooks. Matematikk, Polyhedra, Hypercubes. Gjenopprettet fra: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com