HOMOTHECY: EGENSKAPER, TYPER OG EKSEMPLER - MATTE - 2026

Den dilatasjon er en geometrisk endring i planet som fra et fast punkt som kalles sentrum (O), blir avstandene multipliseres med en felles faktor. På denne måten tilsvarer hvert punkt P et annet punkt P 'produkt av transformasjonen, og disse er på linje med punkt O.

Så homoteki handler om en korrespondanse mellom to geometriske figurer, der de transformerte punktene kalles homotetisk, og disse er på linje med et fast punkt og med segmenter parallelle med hverandre.

Homothecy

Homothecy er en transformasjon som ikke har et kongruent bilde, fordi man fra en figur oppnår en eller flere figurer av større eller mindre størrelse enn den opprinnelige figuren; det vil si at homothecy forvandler en polygon til en annen lignende.

For at homothecy skal oppfylles, må punkt til punkt og linje til linje samsvare, slik at parene med homologe punkter er på linje med et tredje fast punkt, som er sentrum av homothecy.

På samme måte må parlinjene som går sammen med dem være parallelle. Forholdet mellom slike segmenter er en konstant kalt homothecy ratio (k); på en slik måte at homothecy kan defineres som:

For å gjennomføre denne typen transformasjon begynner vi med å velge et vilkårlig punkt, som vil være sentrum for homothecy.

Fra dette punktet tegnes linjesegmenter for hvert toppunkt i figuren som skal transformeres. Skalaen som gjengivelsen av den nye figuren er laget i, er gitt av forholdet mellom homothecy (k).

Egenskaper

En av hovedegenskapene til homothecy er at av homotetisk grunn (k) er alle homotetiske figurer like. Blant andre fremragende eiendommer er følgende:

- Sentrum av homothecia (O) er det eneste doble punktet, og dette forvandles til seg selv; det vil si at den ikke varierer.

- Linjene som går gjennom sentrum blir transformert til seg selv (de er doble), men punktene som utgjør det er ikke doble.

- Linjene som ikke går gjennom sentrum blir transformert til parallelle linjer; på denne måten forblir homotekivinklene de samme.

- Bildet av et segment ved en homothecy av sentrum O og forholdet k, er et segment parallelt med dette og har k ganger lengden. Som det for eksempel sees i det følgende bildet, vil et segment AB ved homothecy resultere i et annet segment A'B ', slik at AB vil være parallelt med A'B' og k vil være:

- Homotetiske vinkler er kongruente; det vil si at de har samme mål. Derfor er bildet av en vinkel en vinkel som har samme amplitude.

På den annen side har vi at homotekien varierer som en funksjon av verdien av forholdet (k), og følgende tilfeller kan oppstå:

- Hvis konstanten k = 1, er alle punktene faste fordi de transformerer seg selv. Dermed sammenfaller den homotetiske figuren med den originale og transformasjonen vil bli kalt identitetsfunksjonen.

- Hvis k ≠ 1, vil det eneste faste punktet være sentrum av homotetikken (O).

- Hvis k = -1, blir homotecien en sentral symmetri (C); dvs. oppstå en rotasjon rundt C, i en vinkel på 180 ^eller .

- Hvis k> 1, vil størrelsen på den transformerte figuren være større enn originalen.

- Hvis 0 <k <1, vil størrelsen på den transformerte figuren være mindre enn originalen.

- Hvis -1 <k <0, vil størrelsen på den transformerte figuren være mindre og den blir rotert med hensyn til originalen.

- Hvis k <-1, vil størrelsen på den transformerte figuren være større og den roteres med hensyn til originalen.

typer

Homotekien kan også klassifiseres i to typer, avhengig av verdien av forholdet (k):

Direkte homothecy

Det oppstår hvis konstanten k> 0; det vil si at de homotiske punktene er på samme side med hensyn til sentrum:

Forholdsmessighetsfaktoren eller likhetsforholdet mellom de direkte homotetiske tall vil alltid være positivt.

Omvendt homothecy

Det oppstår hvis konstanten k <0; det vil si at startpunktene og deres homotetikk er lokalisert i motsatte ender i forhold til sentrum av homotetikken, men på linje med det. Senteret vil være mellom de to figurene:

Forholdsmessighetsfaktoren eller likhetsforholdet mellom inverse homotetiske tall vil alltid være negativt.

sammensetning

Når flere bevegelser suksessivt utføres til man får en figur lik originalen, oppstår en sammensetning av bevegelser. Sammensetningen av flere bevegelser er også en bevegelse.

Sammensetningen mellom to homothecies resulterer i en ny homothecy; det vil si at det er et produkt av homotetier der senteret vil være på linje med sentrum av de to opprinnelige transformasjonene, og forholdet (k) er produktet av de to forholdene.

Således, i sammensetningen av to homothecies H ₁ (O ₁ , k ₁ ) og H- ₂ (O ₂ , k ₂ ), multiplikasjon av deres forhold: k ₁ xk ₂ = 1 vil resultere i en homothecy av forholdet k ₃ = k ₁ xk ₂ . Senteret for denne nye homotekien (O ₃ ) vil ligge på linjen O ₁ O ₂ .

Homothecia tilsvarer en flat og irreversibel forandring; Hvis det brukes to homotetier som har samme senter og forhold, men med et annet tegn, oppnås den opprinnelige figuren.

eksempler

Første eksempel

Bruk en homothecy på den gitte polygon av sentrum (O), som ligger 5 cm fra punkt A og hvis forhold er k = 0,7.

Løsning

Ethvert punkt velges som sentrum av homothecy, og fra dette punktet trekkes stråler gjennom toppunktene på figuren:

Avstanden fra sentrum (O) til punkt A er OA = 5; Med dette kan avstanden til et av de homotetiske punktene (OA ') bestemmes, også vel vitende om at k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Prosessen kan gjøres for hvert toppunkt, eller den homotetiske polygon kan også tegnes og huske at de to polygonene har parallelle sider:

Endelig ser transformasjonen slik ut:

Andre eksempel

Bruk en homothecy på den gitte polygon med sentrum (O), som ligger 8,5 cm fra punkt C og hvis y-forhold k = -2.

Løsning

Avstanden fra sentrum (O) til punkt C er OC = 8,5; Med disse dataene er det mulig å bestemme avstanden til et av de homotetiske punktene (OC '), også å vite at k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Etter å ha tegnet segmentene av toppunktene til den transformerte polygonen, har vi at startpunktene og deres homotetikk er plassert i motsatte ender med hensyn til sentrum:

referanser

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknisk tegning: aktivitetsnotatbok.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affinitet, homologi og homothecy.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineær algebra og projektiv geometri. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Generell matematikk, sannsynligheter og statistikk.
5. Meserve, BE (2014). Grunnleggende begreper om geometri. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Introduksjon til algebra. Reverte.