PYTAGOREISKE IDENTITETER: DEMONSTRASJON, EKSEMPEL, ØVELSER - MATTE - 2026

Pythagoreiske identiteter er alle trigonometriske ligninger som gjelder for hvilken som helst verdi av vinkelen og er basert på den Pythagorean teorem. Den mest berømte av de pythagoreiske identitetene er den grunnleggende trigonometriske identiteten:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Figur 1. Pytagoreiske trigonometriske identiteter.

Neste av betydning, og jeg bruker den pythagoreiske identiteten til tangenten og sekanten:

Tan ² (α) + 1 = Sek ² (α)

Og den pytagoreiske trigonometriske identiteten som involverer kotangenten og kosekanten:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstrasjon

De trigonometriske forholdene sinus og kosinus er representert i en sirkel med radius en (1) kjent som en trigonometrisk sirkel. Nevnte sirkel har sitt senter ved opprinnelsen til koordinatene O.

Vinkler måles fra den positive halvaksen til Xs, for eksempel vinkel α i figur 2 (se nedenfor). Mot klokken hvis vinkelen er positiv, og med klokken hvis den er en negativ vinkel.

Strålen med opprinnelse O og vinkel α tegnes, som avskjærer enhetssirkelen ved punkt P. Punkt P projiseres ortogonalt på den horisontale aksen X som gir opphav til punkt C. Tilsvarende projiseres P vinkelrett på den vertikale aksen Y som gir sted å peke S.

Vi har den rette trekanten OCP ved C.

Sinus og kosinus

Det må huskes at det trigonometriske forholdet sinus er definert i en høyre trekant som følger:

Sinusen til en vinkel i trekanten er forholdet eller kvoten på benet motsatt vinkelen og hypotenusen til trekanten.

Anvendt på trekanten OCP i figur 2 ville det se slik ut:

Sen (α) = CP / OP

men CP = OS og OP = 1, slik at:

Sen (α) = OS

Noe som betyr at projeksjons OS på Y-aksen har en verdi lik sinusen til den viste vinkelen. Det skal bemerkes at den maksimale verdien av sinus av en vinkel (+1) forekommer når α = 90º og minimum (-1) når α = -90º eller α = 270º.

Figur 2. Trigonometrisk sirkel som viser forholdet mellom den Pythagoreiske teorem og den grunnleggende trigonometriske identiteten. (Egen utdyping)

På samme måte er kosinus i en vinkel kvotienten mellom benet ved siden av vinkelen og hypotenusen til trekanten.

Anvendt på trekanten OCP i figur 2 ville det se slik ut:

Cos (α) = OC / OP

men OP = 1, slik at:

Cos (α) = OC

Dette betyr at projeksjonen OC på X-aksen har en verdi lik sinen til den viste vinkelen. Det skal bemerkes at den maksimale verdien av kosinus (+1) forekommer når α = 0º eller α = 360º, mens minimumsverdien på kosinus er (-1) når α = 180º.

Den grunnleggende identiteten

For den høyre trekanten OCP i C brukes Pythagorean teorem, som sier at summen av kvadratet på bena er lik kvadratet på hypotenusen:

CP ² + OC ² = OP ²

Men det har allerede blitt sagt at CP = OS = Sen (α), at OC = Cos (α) og at OP = 1, slik at det forrige uttrykket kan skrives om som en funksjon av sinus og kosinus i vinkelen:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Tangens akse

Akkurat som X-aksen i den trigonometriske sirkelen er kosinusaksen og Y-aksen sinusaksen, på samme måte er det tangensaksen (se figur 3) som er nettopp tangenslinjen til enhetssirkelen på punktet B av koordinater (1, 0).

Hvis du vil vite verdien av tangenten til en vinkel, trekkes vinkelen fra den positive halvaksen til X, skjæringspunktet mellom vinkelen og aksen til tangenten definerer et punkt Q, lengden på segmentet OQ er tangenten til vinkel.

Dette er fordi definisjonen av vinkelen α er det motsatte benet QB mellom det tilstøtende benet OB. Det vil si Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Figur 3. Den trigonometriske sirkelen som viser aksen til tangenten og den pythagoreiske identiteten til tangenten. (Egen utdyping)

Tangentenes pytagoreiske identitet

Den pytagoreiske identiteten til tangenten kan bevises ved å vurdere den rette trekanten OBQ ved B (figur 3). Bruker Pythagorean teorem på denne trekanten har vi at BQ ² + OB ² = OQ ² . Men det har allerede blitt sagt at BQ = Tan (α), at OB = 1 og at OQ = Sec (α), slik at vi i stedet for den pytagoreiske likheten erstatter den rette trekanten OBQ:

Brun ² (α) + 1 = Sek ² (α).

Eksempel

Sjekk om de pythagoreiske identitetene er oppfylt i høyre trekant av bena AB = 4 og BC = 3.

Løsning: Bena er kjent, hypotenusen må bestemmes, som er:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Vinkelen ∡BAC vil bli kalt α, ∡BAC = α. Nå bestemmes de trigonometriske forhold:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Altså α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sek α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Det begynner med den grunnleggende trigonometriske identiteten:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Det konkluderes med at det er oppfylt.

- Den neste pytagoreiske identiteten er tangenten:

Tan ² (α) + 1 = Sek ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Og det konkluderes med at identiteten til tangenten er bekreftet.

- På en lignende måte som hos cotangenten:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Det konkluderes med at det også er oppfylt, med hvilken oppgaven med å verifisere de pythagoreiske identitetene for den gitte trekanten er fullført.

Løste øvelser

Bevis følgende identiteter, basert på definisjonene av de trigonometriske forholdene og de pythagoreiske identitetene.

Oppgave 1

Bevis at Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Løsning: På høyre side kjenner vi igjen det bemerkelsesverdige produktet av multiplikasjon av en binomial med dets konjugat, som som kjent er en forskjell på kvadrater:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Da går begrepet med sinus på høyre side til venstre side med skiltet endret:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Legg merke til at den grunnleggende trigonometriske identiteten er nådd, så det konkluderes med at det gitte uttrykket er en identitet, det vil si at det er sant for enhver verdi av x.

Oppgave 2

Fra den grunnleggende trigonometriske identiteten og bruk av definisjonene av de trigonometriske forholdene, demonstrer den pytagoreiske identiteten til kosekanten.

Løsning: Den grunnleggende identiteten er:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Begge medlemmene er delt av Sen ² (x) og nevneren er fordelt på det første medlemmet:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Det er forenklet:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) er en (ikke-pytagoreisk) identitet som blir bekreftet av selve definisjonen av de trigonometriske forhold. Det samme skjer med følgende identitet: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Endelig må du:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

referanser

1. Baldor J. (1973). Plan- og romgeometri med en introduksjon til trigonometri. Mellomamerikansk kultur. AC
2. CEA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematikk 2. Grupo Redaksjonell Patria.
4. Iger. (SF). Matematikk Første semester Tacaná. Iger.
5. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heerenveen og Hornsby. (2006). Matematikk: resonnering og applikasjoner (tiende utgave). Pearson Education.
7. Patiño, M. (2006). Matematikk 5. Redaksjonell progreso.
8. Wikipedia. Trigonometri-identiteter og formler. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com