- Opprinnelse og historie
- Aristoteles
- Hva studerer matematisk logikk?
- proposisjoner
- Sannhetstabeller
- Typer matematisk logikk
- Områder
- referanser
Den matematiske logikken eller den symboliske logikken er et matematisk språk som dekker verktøyene man kan bekrefte eller avkrefte en matematisk resonnement på.
Det er velkjent at det ikke er uklarheter i matematikk. Gitt et matematisk argument, er det enten gyldig eller er det rett og slett ikke. Det kan ikke være usant og sant på samme tid.
Et spesielt aspekt ved matematikk er at den har et formelt og strengt språk som gyldigheten av et argument kan bestemmes. Hva er det som gjør en viss resonnement eller matematisk bevis ugjendrivelig? Det er det matematisk logikk handler om.
Dermed er logikk disiplinen i matematikk som er ansvarlig for å studere matematisk resonnement og bevis, og gir verktøyene for å kunne utlede en riktig konklusjon fra tidligere uttalelser eller proposisjoner.
For å gjøre dette benyttes aksiomer og andre matematiske aspekter som vil bli utviklet senere.
Opprinnelse og historie
De nøyaktige datoene for mange aspekter av matematisk logikk er usikre. Imidlertid sporer de fleste av bibliografiene om emnet sin opprinnelse til antikkens Hellas.
Aristoteles
Begynnelsen på den strenge behandlingen av logikk tilskrives delvis Aristoteles, som skrev et sett med logikkverk, som senere ble samlet inn og utviklet av forskjellige filosofer og forskere, frem til middelalderen. Dette kan betraktes som "den gamle logikken".
Senere, i det som er kjent som samtiden, ble Leibniz beveget av et dypt ønske om å etablere et universelt språk for å resonnere matematisk, og andre matematikere som Gottlob Frege og Giuseppe Peano, påvirket spesielt utviklingen av matematisk logikk med store bidrag , blant dem Peano Axioms, som formulerer uunnværlige egenskaper til naturlige tall.
Matematikere George Boole og Georg Cantor var også av stor innflytelse på dette tidspunktet, med viktige bidrag i settteorier og sannhetstabeller, hvor de blant annet fremhevet Boolean Algebra (av George Boole) og Axiom of Choice (av George Cantor).
Det er også Augustus De Morgan med de velkjente Morgan-lovene, som tenker på negasjoner, konjunksjoner, disjunksjoner og betingelser mellom proposisjoner, nøkler til utviklingen av Symbolic Logic og Jhon Venn med de berømte Venn-diagrammer.
På 1900-tallet, omtrent mellom 1910 og 1913, skiller Bertrand Russell og Alfred North Whitehead seg ut med publiseringen av Principia mathematica, et sett med bøker som samler, utvikler og postulerer en serie aksiomer og resultater av logikk.
Hva studerer matematisk logikk?
proposisjoner
Matematisk logikk begynner med studiet av proposisjoner. Et forslag er en uttalelse som kan sies uten tvetydighet om den er sann eller ikke. Følgende er eksempler på forslag:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- I 1930 var det et jordskjelv i Europa.
Den første er en sann uttalelse, og den andre er en falsk uttalelse. Den tredje, selv om personen som leser den kanskje ikke vet om den er sann eller umiddelbart, er en uttalelse som kan testes og avgjør om det virkelig skjedde eller ikke.
Følgende er eksempler på uttrykk som ikke er proposisjoner:
- Hun er blond.
- 2x = 6.
- La oss leke!
- Liker du filmer
I den første proposisjonen er det ikke spesifisert hvem "hun" er, derfor kan ingenting bekreftes. I den andre proposisjonen har ikke hva "x" representerer spesifisert. Hvis det i stedet ble sagt at 2x = 6 for noe naturlig tall x, ville det i dette tilfellet tilsvare et forslag, faktisk sant, siden for x = 3 er det oppfylt.
De to siste uttalelsene tilsvarer ikke et forslag, siden det ikke er noen måte å nekte eller bekrefte dem.
To eller flere proposisjoner kan kombineres (eller kobles sammen) ved hjelp av velkjente logiske tilkoblinger (eller kontakter). Disse er:
- Fornektelse: "Det regner ikke."
- Disjunksjon: "Luisa kjøpte en hvit eller grå veske."
- Konjunksjon: "4 2 = 16 og 2 × 5 = 10".
- Betinget: "Hvis det regner, så skal jeg ikke på treningsstudio i ettermiddag."
- Biconditional: "Jeg går på treningsstudio i ettermiddag hvis, og bare hvis det ikke regner."
Et forslag som ikke har noen av de tidligere tilkoblinger, kalles en enkel (eller atomisk) proposisjon. For eksempel er "2 er mindre enn 4" et enkelt forslag. Forslagene som har noen bindemidler kalles sammensatte proposisjoner, for eksempel "1 + 3 = 4 og 4 er et jevnt tall."
Uttalelser som fremsettes ved hjelp av proposisjoner er vanligvis lange, så det er slitsomt å alltid skrive dem slik de så langt har sett. Av denne grunn brukes et symbolspråk. Forslag er vanligvis representert med store bokstaver som P, Q, R, S, etc. Og de symboliske forbindelsene som følger:
Så det
Det motsatte av en betinget forslag
er proposisjonen
Og det gjensidige (eller kontrapositive) forslaget
er proposisjonen
Sannhetstabeller
Et annet viktig konsept i logikken er sannhetstabeller. Sannhetsverdiene til en proposisjon er de to mulighetene for en proposisjon: sann (som vil bli betegnet med V og det vil bli sagt at dens sannhetsverdi er V) eller falsk (som vil bli betegnet med F og det vil bli sagt at dens verdi er virkelig F).
Sannhetsverdien av et sammensatt forslag avhenger utelukkende av sannhetsverdiene til de enkle proposisjonene som vises i den.
For å jobbe mer generelt vil vi ikke vurdere spesifikke proposisjoner, men proposisjonsvariabler p, q, r, s, etc., som vil representere eventuelle proposisjoner.
Med disse variablene og de logiske tilkoblinger dannes de velkjente proposisjonsformlene, akkurat som sammensatte proposisjoner er bygget.
Hvis hver av variablene som vises i en proposisjonell formel erstattes av en proposisjon, oppnås en sammensatt proposisjon.
Nedenfor er sannhetstabellene for logiske tilkoblinger:
Det er proposisjonsformler som bare mottar verdien V i sannhetstabellen, det vil si at den siste kolonnen i sannhetstabellen bare har verdien V. Disse typene formler er kjent som tautologier. For eksempel:
Følgende er sannhetstabellen med formelen
En formel α sies å logisk innebære en annen formel ß, hvis α er sant hver gang β er sant. Det vil si, i sannhetstabellen for α og β, radene der α har en V, β har også en V. Vi er bare interessert i radene der α har verdien V. Notasjonen for den logiske implikasjonen er følgende :
Følgende tabell oppsummerer egenskapene til logisk implikasjon:
To proposisjonsformler sies å være logisk likeverdige hvis sannhetstabellene deres er identiske. Følgende notasjon brukes for å uttrykke den logiske ekvivalensen:
Følgende tabeller oppsummerer egenskapene til logisk ekvivalens:
Typer matematisk logikk
Det er forskjellige typer logikk, spesielt hvis man tar hensyn til den pragmatiske eller uformelle logikken som blant annet peker på filosofi.
Når det gjelder matematikk, kan logikktyper oppsummeres som:
- Formell eller aristotelisk logikk (eldgamle logikk).
- Forslagslogikk: den er ansvarlig for studiet av alt relatert til gyldigheten av argumenter og proposisjoner ved bruk av formelt og symbolsk språk.
- Symbolisk logikk: fokusert på studiet av sett og deres egenskaper, også med et formelt og symbolsk språk, og er dypt knyttet til proposisjonell logikk.
- Kombinatorisk logikk: en av de nylig utviklede, involverer resultater som kan utvikles ved hjelp av algoritmer.
- Logisk programmering: brukes i forskjellige pakker og programmeringsspråk.
Områder
Blant områdene som benytter seg av matematisk logikk på en uunnværlig måte i utviklingen av deres resonnement og argumenter, skiller seg ut filosofi, settteori, tallteori, algebraisk konstruktiv matematikk og programmeringsspråk.
referanser
- Aylwin, CU (2011). Logikk, sett og tall. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduksjon til tallteori. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Grunnkurs i tallteori. Nord universitet.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Hvordan utvikle matematisk logisk resonnement. University Publishing House.
- Zaragoza, AC (sf). Tallteori Redaksjonell visjon Libros.