FERMATGRENSE: HVA DEN BESTÅR AV OG ØVELSER LØST - MATTE - 2026

Den Fermat grense er en numerisk metode som brukes for å oppnå verdien av helningen av en linje, som tangerer en funksjon ved et visst punkt i dens domene. Det brukes også til å innhente kritiske punkter for en funksjon. Uttrykket er definert som:

Det er åpenbart at Fermat ikke visste det grunnleggende om avledning, men det var studiene hans som fikk en gruppe matematikere til å spørre om tangentlinjer og deres anvendelser i kalkulus.

Hva er Fermat-grensen?

Den består av en tilnærming på 2 punkter, som i tidligere forhold danner en fast linje til funksjonen med kryss i par verdier.

Ved å nærme seg variabelen til verdien "a", blir paret av punkter tvunget til å møtes. På denne måten blir den tidligere festede linjen tangent til punktet (a; f (a)).

Verdien på kvotienten (x - a) gir, når den blir evaluert i punktet "a", en ubestemmelse for grenser for typen K mellom null (K / 0). Hvor gjennom forskjellige factoring teknikker disse ubestemmelser kan brytes.

De mest brukte driftsteknikkene er:

-Differens av firkanter (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Eksistensen av elementet (a - b) innebærer i de fleste tilfeller den faktoren som forenkler uttrykket (x - a) i kvoten av Fermat-grensen.

- Fullføring av firkanter (øks ² + bx); Etter å ha fullført firkanter oppnås en Newton-binomial, hvor en av dens 2 faktorer er forenklet med uttrykket (x - a), og bryter ubestemmelsen.

- konjugat (a + b) / (a ​​+ b); Å multiplisere og dele uttrykket med konjugatet av en eller annen faktor kan være til stor hjelp for å bryte ubestemmelsen.

- Fellesfaktor; I mange tilfeller skjuler resultatet av å betjene telleren for Fermat-grensen f (x) - f (a) faktoren (x - a) som er nødvendig for å faktorere. For dette blir det nøye observert hvilke elementer som gjentas i hver faktor i uttrykket.

Anvendelse av Fermat-grensen for maksimum og minimum

Selv om Fermat-grensen ikke skiller mellom maksimum og minimum, siden den bare kan identifisere kritiske punkter i henhold til dens definisjon, brukes den ofte i beregningen av topper eller etasjer med funksjoner i planet.

En grunnleggende kunnskap om den grafiske teorien om funksjoner i forbindelse med dette teoremet kan være tilstrekkelig til å etablere maksimale og minimale verdier mellom funksjoner. Faktisk kan bøyningspunktene defineres ved hjelp av middelverdisetningen i tillegg til Fermats teorem.

Den kubiske lignelsen

Det viktigste paradokset for Fermat kom fra å studere den kubiske parabolen. Fordi oppmerksomheten hans ble rettet mot tangenslinjene til en funksjon for et gitt punkt, løp han inn i problemet med å definere nevnte tangenslinje på bøyningspunktet i funksjonen.

Det virket umulig å bestemme tangentlinjen til et punkt. Dermed begynner henvendelsen som ville gi opphav til differensialberegningen. Defineres senere av viktige eksponenter for matematikk.

Maximus og minimal

Studiet av maksimaler og minimum av en funksjon var en utfordring for klassisk matematikk, hvor det var nødvendig med en entydig og praktisk metode for å definere dem.

Fermat opprettet en metode som er basert på drift av små differensialverdier, som etter innføring av prosesser elimineres, og gir vei til den maksimale og minste verdien som er søkt.

Denne variabelen må evalueres i det originale uttrykket for å bestemme koordinatet til nevnte punkt, som sammen med analytiske kriterier vil bli definert som det maksimale eller minimum av uttrykket.

Metode

I sin metode bruker Fermat den bokstavelige symbolikken til Vieta, som besto av den eksklusive bruken av store bokstaver: vokaler, for ukjente og konsonanter for kjente mengder.

For radikale verdier implementerte Fermat en spesiell prosess, som senere vil bli brukt i faktorisering av grensene for ubestemmelsesløshet uendelig mellom uendelig.

Denne prosessen består i å dele hvert uttrykk med verdien av differensialen som brukes. I tilfellet Fermat brukte han bokstaven E, der etter å ha delt med den høyeste makten til E, blir den søkte verdien av det kritiske punktet klynbar.

Historie

Fermat-grensen er faktisk et av de minst anerkjente bidragene i matematikerens lange liste. Studiene hans gikk fra primtall til i utgangspunktet å skape grunnlag for beregning.

På sin side var Fermat kjent for sine eksentrisiteter i forhold til hypotesene sine. Det var vanlig for ham å overlate en slags utfordring til datidens andre matematikere, da han allerede hadde løsningen eller beviset.

Han hadde et stort utvalg av tvister og allianser med forskjellige tids matematikere, som enten elsket eller hatet å jobbe med ham.

Hans siste teorem var hovedansvarlig for hans verdensomspennende berømmelse, hvor han uttalte at en generalisering av Pythagoras teorem for enhver grad "n" var umulig. Han hevdet å ha et gyldig bevis på det, men døde før han offentliggjorde det.

Denne demonstrasjonen måtte vente omtrent 350 år. I 1995 la matematikerne Andrew Wiles og Richard Taylor en slutt på angsten som Fermat etterlot, og beviste at han hadde rett gjennom et gyldig bevis på hans siste teorem.

Øvelser

Oppgave 1

Definer helningen på tangentlinjen til kurven f (x) = x ² på punktet (4, 16)

Å erstatte i uttrykket Fermat-grensen har vi:

Faktorene (x - 4) er forenklet

Når du evaluerer har du

M = 4 + 4 = 8

Oppgave 2

Definer det kritiske punktet for uttrykket f (x) = x ² + 4x ved å bruke Fermat-grensen

Det gjennomføres en strategisk gruppering av elementer som søker å gruppere parene XX ₀

De minste rutene er utviklet

Se på den vanlige faktoren XX _{0 og trekke ut}

Uttrykket kan nå forenkles og ubestemmelsen brytes

Ved minimumspunktene er det kjent at helningen på tangentlinjen er lik null. På denne måten kan vi utjevne uttrykket funnet til null og løse for verdien X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

For å få den manglende koordinaten er det bare nødvendig å evaluere punktet i den opprinnelige funksjonen

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Det kritiske punktet er P (-2, -4).

referanser

1. Ekte analyse. En historisk tilnærming Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5. august. 1999.
2. Den matematiske karrieren til Pierre de Fermat, 1601-1665: Andre utgave. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5. juni. 2018
3. Fra Fermat til Minkowski: Forelesninger om teorien om tall og dens historiske utvikling. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Fermats siste teorem: En genetisk introduksjon til algebraisk tallteori. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14. januar 2000
5. Fermat Days 85: Mathematics for Optimization. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1. jan. 1986