KEPLERS LOVER: FORKLARING, ØVELSER, EKSPERIMENT - FYSISK - 2026

Den Kepler 's lov for planetbevegelser ble gjort ved den tyske astronomen Johannes Kepler (1571 til 1630). Kepler dedikerte dem basert på arbeidet til læreren hans, den danske astronomen Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe samlet nøye dataene fra planetariske bevegelser over mer enn 20 år, med overraskende presisjon og nøyaktighet, med tanke på at teleskopet på det tidspunktet ennå ikke var oppfunnet. Gyldigheten av dataene dine er fortsatt gyldige også i dag.

Figur 1. Banene i planetene i henhold til Keplers lover. Kilde: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

Keplers 3 lover

Keplers lover sier:

-Først lov : alle planeter beskriver elliptiske baner med solen i en av fokusene.

Dette betyr at forholdet T ² / r ³ er den samme for alle planeter, som gjør det mulig å beregne baneradius, hvis omløpstiden er kjent.

Når T er uttrykt i år og r i astronomiske enheter AU *, er proporsjonalitetskonstanten k = 1:

* En astronomisk enhet tilsvarer 150 millioner kilometer, som er den gjennomsnittlige avstanden mellom Jorden og Solen. Jordens omløpsperiode er 1 år.

Loven om universell gravitasjon og Keplers tredje lov

Den universelle gravitasjonsloven sier at størrelsen på tiltrekningskraften mellom to gjenstander av henholdsvis massene M og m, hvis sentre er atskilt med en avstand r, er gitt av:

G er den universelle gravitasjonskonstanten, og dens verdi er G = 6,674 x ^10-11 Nm ² / kg ² .

Nå er planetene bane elliptiske med en veldig liten eksentrisitet.

Dette betyr at bane ikke er veldig langt fra en omkrets, bortsett fra i noen tilfeller som dvergplaneten Pluto. Hvis vi tilnærmer banene til den sirkulære formen, er akselerasjonen av planetens bevegelse:

Siden F = ma, har vi:

Her er v den lineære hastigheten til planeten rundt sola, antatt statisk og av masse M, mens planeten er m. Så:

Dette forklarer at planetene lenger fra solen har en lavere banehastighet, siden dette avhenger av 1 / √r.

Siden avstanden planeten beveger seg er omtrent lengden på omkretsen: L = 2πr og det tar en tid lik T, baneperioden, oppnår vi:

Å sammenligne begge uttrykk for v gir et gyldig uttrykk for T ² , firkanten av omløpsperioden:

Og dette er nettopp Keplers tredje lov, siden parentesene 4π ² / GM i dette uttrykket er konstante, derfor er T ² proporsjonal med avstanden r terningen.

Den definitive ligningen for omløpsperioden oppnås ved å ta kvadratroten:

Figur 3. Aphelion og perihelion. Kilde: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Public domain

Derfor erstatter vi r for en i Keplers tredje lov, som resulterer for Halley i:

Løsning b

a = ½ (Perihelion + Aphelion)

Eksperiment

Å analysere planetenes bevegelse krever uker, måneder og til og med år med nøye observasjoner og opptak. Men i laboratoriet kan et veldig enkelt eksperiment utføres i en veldig enkel skala for å bevise at Keplers lov om like områder har.

Dette krever et fysisk system der styrken som styrer bevegelsen er sentral, en tilstrekkelig betingelse for at loven i områder skal være oppfylt. Et slikt system består av en masse bundet til et langt tau, med den andre enden av tråden festet til en støtte.

Massen beveges med en liten vinkel fra sin likevektsposisjon og det blir gitt en svak impuls, slik at den utfører en oval (nesten elliptisk) bevegelse i det horisontale planet, som om det var en planet rundt solen.

På kurven som er beskrevet av pendelen, kan vi bevise at den feier like områder i like tider, hvis:

-Vi vurderer vektorradier som går fra sentrum av tiltrekningen (begynnelsespunktet for likevekt) til massens plassering.

-Og vi feier mellom to påfølgende øyeblikk av samme varighet, i to forskjellige bevegelsesområder.

Jo lengre pendelstrengen og desto mindre er vinkelen fra vertikalen, nettopprettingskraften vil være mer horisontal, og simuleringen ligner tilfellet med bevegelse med sentral kraft i et plan.

Da nærmer den beskrevne ovalen seg en ellipse, for eksempel den som planeter beveger seg på.

materialer

-Forsøkbar tråd

-1 masse eller metallkule malt hvit som fungerer som en pendel bob

-Hersker

-Conveyor

-Fotografisk kamera med automatisk strobydisk

-Støtter

- To lyskilder

-Et ark svart papir eller papp

Prosess

Å sette sammen figuren er nødvendig for å ta bilder av flere blinker av pendelen når den følger dens vei. For dette må du plassere kameraet rett over pendelen og den automatiske strobydisken foran linsen.

Figur 4. Montering av pendelen for å kontrollere at den feier like områder i like tider. Kilde: PSSC Laboratory Guide.

På denne måten oppnås bilder med jevne tidsintervaller av pendelen, for eksempel hvert 0,1 eller hvert 0,2 sekund, noe som gjør at vi kan kjenne tiden det tok å gå fra et punkt til et annet.

Du må også belyse massen på pendelen riktig og plassere lysene på begge sider. Linsen skal males hvit for å forbedre kontrasten på bakgrunnen, som består av et svart papir spredt på bakken.

Nå må du sjekke at pendelen feier like områder på like tid. For å gjøre dette, velges et tidsintervall og punktene okkupert av pendelen i det intervallet er merket på papiret.

En linje tegnes på bildet fra midten av ovalen til disse punktene, og dermed vil vi få det første av områdene feid av pendelen, som er omtrent en elliptisk sektor som den som er vist nedenfor:

Figur 5. Område i en elliptisk sektor. Kilde: F. Zapata.

Beregning av området til den elliptiske delen

Med gradskive måles vinklene θ _o og θ ₁ , og denne formelen brukes til å finne S, området for den elliptiske sektoren:

Med F (θ) gitt av:

Legg merke til at a og b er henholdsvis hoved- og mindre halvakser. Leseren trenger bare å bekymre seg for å måle halvakslene og vinklene nøye, siden det er kalkulatorer på nettet som enkelt kan evaluere dette uttrykket.

Husk imidlertid at vinkelen θ måles i grader, men når du insisterer på å gjøre beregningen for hånd, men når du legger inn dataene i kalkulatoren, må verdiene uttrykkes i radianer.

Så må du markere et annet par par der pendelen har invertert det samme tidsintervallet, og tegne det tilsvarende området, beregnet verdien med samme prosedyre.

Verifisering av loven om like områder

Til slutt gjenstår det å verifisere at loven til områder er oppfylt, det vil si at like områder feies i like tider.

Avviker resultatene litt fra det som var forventet? Det må alltid tas i betraktning at alle målinger er ledsaget av deres respektive eksperimentelle feil.

referanser

1. Keisan online kalkulator. Område i en elliptisk kalkulator for sektoren. Gjenopprettet fra: keisan.casio.com.
2. Openstax. Keplers lov om planetarisk bevegelse. Gjenopprettet fra: openstax.org.
3. PSSC. Laboratoriefysikk. Redaksjonell Reverté. Gjenopprettet fra: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomi. Schaum Series. McGraw Hill.
5. Pérez R. Enkelt system med sentral styrke. Gjenopprettet fra: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, D. Keplers tre lover om planetbevegelse. Gjenopprettet fra: phy6.org.