YOUNGS MODUL: KALKULUS, APPLIKASJONER, EKSEMPLER, ØVELSER - FYSISK - 2026

Den Youngs modul eller elastisitetsmodul er den konstant som gjelder strekk eller kompresjon med den respektive økning eller reduksjon i lengde med gjenstanden under disse kreftene.

Eksterne krefter påført objekter kan ikke bare endre bevegelsestilstand, men er også i stand til å endre form eller til og med bryte eller sprekke dem.

Figur 1. Kattens bevegelser er fulle av elastisitet og nåde. Kilde: Pixabay.

Youngs modul brukes til å studere endringene som produseres i et materiale når en strekkraft eller trykkraft blir påført den eksternt. Det er veldig nyttig i fag som ingeniørarbeid eller arkitektur.

Modellen skylder navnet til den britiske forskeren Thomas Young (1773-1829), som var den som utførte studier av materialer som foreslo et mål på stivheten til forskjellige materialer.

Hva er Youngs modell?

Youngs modell er et mål på stivhet. I materialer med lav stivhet (rød) er det mer deformasjoner under en forlengelse eller kompresjonsbelastning. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Hvor mye kan et objekt deformeres? Dette er noe ingeniører ofte vil vite. Svaret vil avhenge av egenskapene til materialet og dimensjonene det har.

For eksempel kan du sammenligne to stenger laget av aluminium med forskjellige dimensjoner. Hver har et annet tverrsnittsareal og lengde, og begge er utsatt for samme strekkraft.

Den forventede oppførselen vil være følgende:

- Jo større tykkelse (tverrsnitt) av stangen, desto mindre strekk.

- Jo lengre startlengde, desto større er den endelige strekningen.

Dette er fornuftig, for erfaring viser tross alt at det å prøve å deformere et gummibånd ikke er det samme som å prøve å gjøre det med en stålstang.

En parameter som kalles materialets elastisitetsmodul er en indikasjon på dets elastiske respons.

Hvordan beregnes det?

Som lege ønsket Young å vite hvilken rolle arterienes elastisitet har for den gode ytelsen til blodsirkulasjonen. Av erfaringene konkluderte han med følgende empiriske forhold:

Det er mulig å grafisk representere oppførselen til et materiale under påføring av stress, som vist i den følgende figuren.

Figur 2. Graf over stress kontra belastning for et materiale. Kilde: self made.

Fra opprinnelse til punkt A

I det første avsnittet, som går fra opprinnelse til punkt A, er grafen en rett linje. Hookes lov er gyldig der:

F = kx

Hvor F er størrelsen på kraften som returnerer materialet til sin opprinnelige tilstand, er x deformasjonen som det oppleves og k er en konstant som avhenger av gjenstanden utsatt for spenningen.

Deformasjonene som vurderes her er små og oppførselen er perfekt elastisk.

Fra A til B

Fra A til B oppfører materialet seg også elastisk, men forholdet mellom stress og belastning er ikke lenger lineært.

Fra B til C

Mellom punkt B og C gjennomgår materialet permanent deformasjon, og kan ikke gå tilbake til sin opprinnelige tilstand.

Fra C

Hvis materialet fortsetter å strekke seg fra punkt C, går det til slutt i stykker.

Matematisk kan Youngs observasjoner oppsummeres som følger:

Stress ∝ Sil

Hvor proporsjonalitetskonstanten nettopp er materialets elastisitetsmodul:

Stress = Elasticitetsmodul x Deformasjon

Det er mange måter å deformere materialer på. De tre vanligste typene stress som et objekt blir utsatt for er:

- Spenning eller tøyning.

- Komprimering.

- Klipp eller skjær.

En påkjenning av at materialer ofte blir utsatt for, for eksempel i sivil konstruksjon eller bildeler, er trekkraft.

formler

Når en gjenstand med lengde L er strukket eller spent, blir den utsatt for en trekkraft som forårsaker en variasjon i lengden. Et diagram av denne situasjonen er representert i figur 3.

Dette krever at en kraftstørrelse F påføres per enhetsareal til endene for å forårsake strekking, på en slik måte at dens nye lengde blir L + DL.

Innsatsen som blir gjort for å deformere gjenstanden vil være nettopp denne kraften per enhetsareal, mens belastningen som oppleves er ΔL / L.

Figur 3. Et objekt som blir utsatt for trekkraft eller strekk, opplever forlengelse. Kilde: self made.

Betegner Youngs modul som Y, og i henhold til ovenstående:

Svaret ligger i det faktum at belastningen indikerer den relative belastningen i forhold til den opprinnelige lengden. Det er ikke det samme som at en 1 m bar strekker seg eller krymper med 1 cm, ettersom en 100 meter lang konstruksjon er like deformert med 1 cm.

For at funksjonene til deler og strukturer skal fungere, er det en toleranse for tillatte relative deformasjoner.

Ligning for å beregne deformasjon

Hvis likningen ovenfor blir analysert som følger:

- Jo større tverrsnittsareal, desto mindre deformasjon.

- Jo lengre lengde, desto større er deformasjonen.

- Jo høyere Youngs modul, jo lavere er deformasjonen.

Stressenheter tilsvarer newton / kvadratmeter (N / m ² ). De er også pressenhetene, som i det internasjonale systemet bærer navnet Pascal. Stammen ΔL / L er derimot dimensjonsløs fordi den er kvotienten mellom to lengder.

Enhetene til det engelske systemet er lb / in ² og brukes også veldig ofte. Konverteringsfaktoren for å gå fra den ene til den andre er: 14,7 lb / in ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Dette fører til at Youngs modul også har pressenheter. Til slutt kan likningen ovenfor uttrykkes for å løse for Y:

I materialvitenskap er den elastiske responsen til disse på forskjellige anstrengelser viktig for å velge det best egnede for hver applikasjon, enten det er å produsere en flyvinge eller et billager. Egenskapene til materialet som skal brukes er avgjørende i responsen som forventes av det.

For å velge det beste materialet, er det nødvendig å kjenne påkjenningene som et bestemt stykke kommer til å bli utsatt for; og velg derfor materialet som har egenskapene mest i tråd med designen.

For eksempel må vingen til et fly være sterk, lett og i stand til å bøye seg. Materialene som brukes i bygging av bygninger må motstå seismiske bevegelser i stor grad, men de må også ha en viss fleksibilitet.

Ingeniører som designer flyvinger, og også de som velger konstruksjonsmateriell, må benytte seg av belastningsgrafikker som den som er vist i figur 2.

Målinger for å bestemme de mest relevante elastiske egenskapene til et materiale kan utføres i spesialiserte laboratorier. Det er således standardiserte tester som prøvene blir utsatt for, for hvilke forskjellige spenninger blir påført, og de resulterende deformasjoner blir deretter målt.

eksempler

Som allerede nevnt ovenfor, avhenger ikke Y av gjenstandens størrelse eller form, men av materialets egenskaper.

En annen veldig viktig merknad: for at ligningen gitt ovenfor skal være anvendelig, må materialet være isotropisk, det vil si at dets egenskaper må forbli uendret gjennomgående.

Ikke alle materialer er isotropiske: det er de hvis elastiske respons avhenger av bestemte retningsparametere.

Deformasjonen som ble analysert i de foregående segmentene er bare en av de mange som et materiale kan bli utsatt for. For eksempel når det gjelder trykkspenning er det motsatt av strekkspenning.

Ligningene som er gitt gjelder begge tilfeller, og verdiene til Y er nesten alltid de samme (isotrope materialer).

Et bemerkelsesverdig unntak er betong eller sement, som motstår kompresjon bedre enn trekkraft. Derfor må den forsterkes når det kreves motstand mot strekking. Stål er materialet som er indikert for dette, da det motstår strekk eller trekkraft veldig godt.

Eksempler på strukturer utsatt for stress inkluderer byggesøyler og buer, klassiske bygningselementer i mange gamle og moderne sivilisasjoner.

Figur 4. Pont Julien, en romersk konstruksjon fra 3 f.Kr. i Sør-Frankrike.

Løste øvelser

Oppgave 1

En 2,0 m lang ståltråd i et musikkinstrument har en radius på 0,03 mm. Når kabelen er under en spenning på 90 N: hvor mye endres lengden? Data: Youngs stålmodul er 200 x 10 ⁹ N / m ²

Løsning

Det kreves beregning av tverrsnittsarealet A = πR ² = π. (0,03 x 10 ^-3 m) ² = 2,83 x ^10-9 m ²

Stress er stress per arealenhet:

Siden strengen er under spenning, betyr det at den forlenges.

Den nye lengden er L = L _o + DL, der L _o er den første lengden:

L = 2,32 moh

Oppgave 2

En marmorsøyle, hvis tverrsnittsareal er 2,0 m ^2, støtter en masse på 25 000 kg. Finne:

a) Innsatsen i ryggraden.

b) Sil.

c) Hvor mye kortere er kolonnen hvis høyden er 12 m?

Løsning

a) Innsatsen i kolonnen skyldes vekten til 25000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s ² = 245 000 N

Derfor er innsatsen:

b) Silen er ΔL / L:

c) ΔL er variasjonen i lengden, gitt av:

ΔL = 2,45 x ^10-6 x 12 m = 2,94 x10 ^-5 m = 0,0294 mm.

Marmorsøylen forventes ikke å krympe betydelig. Legg merke til at selv om Youngs modul er lavere i marmor enn i stål, og at søylen også støtter en mye større kraft, er lengden nesten uendret.

På den annen side, i tauet fra forrige eksempel, er variasjonen mye mer betydelig, selv om stålet har en mye høyere Youngs modul.

Det store tverrsnittsarealet griper inn i kolonnen, og derfor er det mye mindre deformerbart.

Om Thomas Young

1822 portrett av Thomas Young. Thomas Lawrence / Public domain

Elastisitetsmodulen er oppkalt etter Thomas Young (1773-1829), en allsidig britisk vitenskapsmann som ga store bidrag til vitenskapen på mange områder.

Som fysiker studerte Young ikke bare lysets bølgeakt, avslørt av det berømte dobbeltspalte eksperimentet, men han var også lege, lingvist og hjalp til og med med å dechiffrere noen av de egyptiske hieroglyfer på den berømte Rosetta steinen.

Han var medlem av Royal Society, Royal Swedish Academy of Sciences, American Academy of Arts and Sciences eller French Academy of Sciences, blant andre adelige vitenskapelige institusjoner.

Det skal imidlertid bemerkes at konseptet med modellen tidligere var utviklet av Leonhar Euler (1707-1873), og at forskere som Giordano Riccati (1709-1790) allerede hadde utført et eksperiment som ville ha satt Youngs modell ut i livet. .

referanser

1. Bauer, W. 2011. Fysikk for ingeniørvitenskap og vitenskap. Bind 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. Sjette utgave. Prentice Hall. 238-249.