Metoden for minst firkanter er en av de viktigste bruksområdene i tilnærmingen av funksjoner. Tanken er å finne en kurve slik at denne funksjonen tilnærmet dataene gitt et sett med bestilte par best. Funksjonen kan være en linje, en kvadratisk kurve, en kubikk osv.
Ideen om metoden består i å minimere summen av kvadrater av forskjellene i ordinaten (Y-komponenten), mellom punktene generert av den valgte funksjonen og poengene som tilhører datasettet.
Minst kvadraters metode
Før vi gir metoden, må vi først være klar over hva “bedre tilnærming” betyr. Anta at vi leter etter en linje y = b + mx som er den som best representerer et sett med n punkter, nemlig {(x1, y1), (x2, y2) …, (xn, yn)}.
Som vist i forrige figur, hvis variablene x og y var relatert til linjen y = b + mx, ville tilsvarende verdi for y være b + mx1 for x = x1. Imidlertid er denne verdien forskjellig fra den sanne verdien til y, som er y = y1.
Husk at i flyet er avstanden mellom to punkter gitt med følgende formel:
Med dette i bakhodet, for å bestemme hvordan du velger linjen y = b + mx som best tilnærmer seg de gitte data, virker det logisk å bruke som kriterium valget av linjen som minimerer summen av kvadratene til avstandene mellom punktene og det rette.
Siden avstanden mellom punktene (x1, y1) og (x1, b + mx1) er y1- (b + mx1), reduserer problemet vårt å finne tallene m og b slik at følgende sum er minimal:
Linjen som oppfyller denne betingelsen er kjent som «tilnærming av linjen med minste kvadrat til punktene (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)».
Når problemet er oppnådd, gjenstår det bare å velge en metode for å finne den minste kvadraters tilnærming. Hvis punktene (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) alle er på linjen y = mx + b, ville vi ha at de er kollinære y:
I dette uttrykket:
Til slutt, hvis punktene ikke er kollinære, så kan y-Au = 0 og problemet oversettes til å finne en vektor u slik at den euklidiske normen er minimal.
Å finne minimeringsvektoren u er ikke så vanskelig som du kanskje tror. Siden A er en nx2 matrise, og u er et 2 x en matrise, har vi at vektoren Au er en vektor i R n og representerer bildet av A, som er et underrom av R n med en dimensjon som ikke er større enn to.
Vi antar at n = 3 for å vise hvilken prosedyre vi skal følge. Hvis n = 3, vil bildet av A være et plan eller en linje gjennom opprinnelsen.
La v være den minimerende vektoren. I figuren observerer vi at y-Au minimeres når det er ortogonalt til bildet av A. Det vil si at hvis v er den minimerende vektoren, så hender det at:
Deretter kan vi uttrykke ovenstående på denne måten:
Dette kan bare skje hvis:
Til slutt, å løse for v, har vi:
Det er mulig å gjøre dette siden A t A er invertible så lenge n-punktene som er gitt som data ikke er kollinære.
Hvis vi i stedet for å lete etter en linje ønsket å finne en parabola (hvis uttrykk ville være av formen y = a + bx + cx 2 ) som ville være en bedre tilnærming til n datapunktene, ville prosedyren være som beskrevet nedenfor.
Hvis n datapunktene var i denne parabolen, ville vi ha:
Deretter:
På samme måte kan vi skrive y = Au. Hvis alle punktene ikke er i parabolen, har vi at y-Au er forskjellig fra null for en hvilken som helst vektor u, og problemet vårt er igjen: finn en vektor u i R3 slik at normen --y-Au-- er så liten som mulig .
Gjenta den forrige prosedyren, og vi kan komme til at den søkte vektoren er:
Løste øvelser
Oppgave 1
Finn linjen som passer best til punktene (1,4), (-2,5), (3, -1) og (4,1).
Løsning
Vi må:
Deretter:
Derfor konkluderer vi at linjen som passer best til poengene er gitt av:
Oppgave 2
Anta at en gjenstand blir droppet fra en høyde av 200 m. Når det faller, blir følgende trinn tatt:
Vi vet at høyden på nevnte objekt, etter en tid t har gått, er gitt av:
Hvis vi ønsker å oppnå verdien av g, kan vi finne en parabola som er en bedre tilnærming til de fem punktene gitt i tabellen, og dermed vil vi ha at koeffisienten som følger med t 2 vil være en rimelig tilnærming til (-1/2) g hvis målingene er nøyaktige.
Vi må:
Og senere:
Så datapunktene passer etter følgende kvadratiske uttrykk:
Så du må:
Dette er en verdi som er rimelig nær å korrigere, som er g = 9,81 m / s 2 . For å få en mer nøyaktig tilnærming av g, ville det være nødvendig å ta utgangspunkt i mer presise observasjoner.
Hva er den til?
I problemene som oppstår i natur- eller samfunnsfag er det praktisk å skrive sammenhengene som eksisterer mellom forskjellige variabler ved hjelp av et eller annet matematisk uttrykk.
I økonomi kan vi for eksempel relatere kostnad (C), inntekt (I) og fortjeneste (U) ved hjelp av en enkel formel:
I fysikk kan vi relatere akselerasjonen forårsaket av tyngdekraften, den tiden et objekt har falt og høyden på objektet ved lov:
I det foregående uttrykket e o er den opprinnelige høyde av nevnte objekt og v o er dens utgangshastighet.
Å finne formler som disse er imidlertid ikke en lett oppgave; Det er vanligvis opp til den profesjonelle som er på plikt å jobbe med mye data og gjentatte ganger utføre flere eksperimenter (for å bekrefte at resultatene som er oppnådd er konstante) for å finne sammenhenger mellom de forskjellige dataene.
En vanlig måte å oppnå dette på er å representere dataene som er oppnådd i et plan som punkter og se etter en kontinuerlig funksjon som optimalt tilnærmer disse punktene.
En av måtene å finne funksjonen som "best tilnærmer" de gitte dataene er ved metoden for minst kvadrater.
I tillegg, som vi også så i øvelsen, kan vi takket være denne metoden få ganske nærme tilnærminger til fysiske konstanter.
referanser
- Charles W Curtis Linear Algebra. Springer-Velarg
- Kai Lai Chung. Elementær proabilitetsteori med stokastiske prosesser. Springer-Verlag New York Inc
- Richar L Burden & J.Douglas Faires. Numerisk analyse (7ed). Thompson Learning.
- Stanley I. Grossman. Bruksområder for lineær algebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossman. Lineær algebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO