AKSIOMATISK METODE: EGENSKAPER, TRINN, EKSEMPLER - KULTURORDFORRÅD - 2026

Den aksiomatiske metoden eller også kalt Axiomatics er en formell prosedyre som brukes av vitenskapene ved hjelp av hvilke uttalelser eller proposisjoner som kalles aksiomer er formulert, koblet til hverandre ved en relatasjon til egenandel og som er grunnlaget for hypotesene eller betingelsene til et bestemt system.

Denne generelle definisjonen må innrammes innenfor utviklingen som denne metodikken har hatt gjennom historien. For det første er det en eldgammel eller innholdsmetode, født i Antikkens Hellas fra Euclid og senere utviklet av Aristoteles.

For det andre, så tidlig som på 1800-tallet, utseendet til en geometri med aksiomer forskjellig fra Euclid. Og til slutt, den formelle eller moderne aksiomatiske metoden, hvis største eksponent var David Hilbert.

Utover utviklingen over tid har denne prosedyren vært grunnlaget for den deduktive metoden, og brukt i geometrien og logikken der den oppsto. Det har også blitt brukt i fysikk, kjemi og biologi.

Og det har til og med blitt anvendt innen rettsvitenskap, sosiologi og politisk økonomi. Imidlertid er den viktigste anvendelsesområdet for øyeblikket matematikk og symbolisk logikk og noen grener av fysikk som termodynamikk, mekanikk, blant andre fagfelt.

kjennetegn

Selv om det grunnleggende kjennetegn ved denne metoden er formuleringen av aksiomer, har disse ikke alltid blitt vurdert på samme måte.

Det er noen som kan defineres og konstrueres på en vilkårlig måte. Og andre, i henhold til en modell der den garanterte sannheten blir intuitivt vurdert.

For å forstå spesifikt hva denne forskjellen og dens konsekvenser består av, er det nødvendig å gå gjennom utviklingen av denne metoden.

Gamle eller innhold aksiomatisk metode

Det er den som ble etablert i det antikke Hellas mot det 5. århundre f.Kr. Dets anvendelsesområde er geometri. Det grunnleggende arbeidet i dette stadiet er Elements of Euclid, selv om det anses at Pythagoras allerede før ham hadde født den aksiomatiske metoden.

Således tar grekerne visse fakta som aksiomer, uten å kreve noe logisk bevis, det vil si uten behov for bevis, siden de for dem er en selvfølge.

For hans del presenterer Euclid fem aksiomer for geometri:

1-gitt to punkter er det en linje som inneholder eller blir med dem.

2-Ethvert segment kan utvides kontinuerlig i en ubegrenset linje på begge sider.

3-Du kan tegne en sirkel som har et senter på ethvert punkt og hvilken som helst radius.

4-De rette vinklene er like.

5-Ta en rett linje og et hvilket som helst punkt som ikke er i den, det er en rett linje parallelt med den, og som inneholder det punktet. Dette aksiom er senere kjent som aksiom av paralleller og er også blitt gitt uttrykk for: en enkelt parallell kan trekkes fra et punkt utenfor en linje.

Imidlertid er både Euclid og senere matematikere enige om at det femte aksiomet ikke er så intuitivt klart som det andre 4. Selv under renessansen blir det forsøkt å trekke det femte fra de andre 4, men det er ikke mulig.

Dette gjorde at allerede på XIX-tallet var de som opprettholdt de fem, til fordel for euklidisk geometri, og de som benektet det femte, var de som skapte ikke-euklidiske geometrier.

Ikke-euklidisk aksiomatisk metode

Det er nettopp Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai og Johann Karl Friedrich Gauss som ser muligheten for uten konstruksjon å konstruere en geometri som kommer fra andre systemer for aksiomer enn Euclids. Dette ødelegger troen på den absolutte sannheten eller a priori for aksiomene og teoriene som stammer fra dem.

Følgelig begynner aksiomer å bli tenkt som utgangspunkt for en gitt teori. Både hans valg og problemet med gyldigheten i en eller annen forstand begynner å være relatert til fakta utenfor den aksiomatiske teorien.

På denne måten fremstår geometriske, algebraiske og aritmetiske teorier bygget ved hjelp av den aksiomatiske metoden.

Denne fasen kulminerer i etableringen av aksiomatiske systemer for aritmetikk som Giuseppe Peano's i 1891; David Huberts geometri i 1899; uttalelsene og predikatberegningene til Alfred North Whitehead og Bertrand Russell, i England i 1910; Ernst Friedrich Ferdinand Zermelos aksiomatiske teori om sett i 1908.

Moderne eller formell aksiomatisk metode

Det er David Hubert som setter i gang forestillingen om en formell aksiomatisk metode, og som fører til kulminasjonen, David Hilbert.

Det er nettopp Hilbert som formaliserer vitenskapelig språk, og vurderer utsagnene som formler eller sekvenser av tegn som ikke har noen mening i seg selv. De får bare mening i en viss tolkning.

I "Grunnlaget for geometri" forklarer han det første eksemplet på denne metodikken. Herfra blir geometri en vitenskap om rene logiske konsekvenser, som er hentet fra et system med hypoteser eller aksiomer, bedre artikulert enn det euklidiske systemet.

Dette er fordi i det gamle systemet er den aksiomatiske teorien basert på beviset for aksiomene. Mens det er grunnlaget for den formelle teorien, blir det gitt ved demonstrasjonen av ikke-motsetningen av dens aksiomer.

Steps

Prosedyren som utfører en aksiomatisk strukturering innen vitenskapelige teorier gjenkjenner:

a-valget av et visst antall aksiomer, det vil si et antall proposisjoner for en viss teori som er akseptert uten å måtte bevises.

b-begrepene som er en del av disse proposisjonene, bestemmes ikke innenfor rammen av den gitte teorien.

c-reglene for definisjon og deduksjon av den gitte teorien er satt og tillater innføring av nye begreper i teorien og logisk trekker noen proposisjoner fra andre.

d-de andre forslagene til teorien, det vil si teoremet, trekkes fra a på grunnlag av c.

eksempler

Denne metoden kan verifiseres gjennom beviset på de to mest kjente Euklid-teoremene: benetningen og høydesetningen.

Begge stammer fra observasjonen av dette greske geometret at når høyden i forhold til hypotenusen er plottet inn i en høyre trekant, dukker det opp to flere trekanter av originalen. Disse trekantene ligner hverandre og samtidig ligner opprinnelsestrekanten. Dette forutsetter at deres respektive homologe sider er proporsjonale.

Det kan sees at de kongruente vinklene i trekantene på denne måten verifiserer likheten som finnes mellom de tre involverte trekantene i henhold til AAA-likhetskriteriet. Dette kriteriet holder at når to trekanter har alle de samme vinklene, er de like.

Når det er vist at trekantene er like, kan proporsjonene som er spesifisert i det første teoremet fastslås. Den samme påstanden som i en høyre trekant, er målet for hvert bein det geometriske proporsjonale middelverdien mellom hypotenusen og projeksjonen til benet på det.

Det andre teoremet er høyden. Den spesifiserer at en hvilken som helst høyre trekant høyden som tegnes i henhold til hypotenusen er det geometriske proporsjonale middelverdien mellom segmentene som bestemmes av nevnte geometriske middelverdi på hypotenusen.

Begge teoremene har selvfølgelig mange applikasjoner over hele verden, ikke bare i undervisning, men også innen ingeniørfag, fysikk, kjemi og astronomi.

referanser

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, formalisme og intuisjon: David Hilbert og den formelle aksiomatiske metoden (1895-1905). Revista de Filosofía, bind 39 nr. 2, s.121-146. Hentet fra magasiner.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Aksiomatisk tanke. I W. Ewald, redaktør, fra Kant til Hilbert: en kildebok i grunnlaget for matematikk. Bind II, s. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Hva er den aksiomatiske metoden? Synthese, november 2011, bind 189, s.69-85. Hentet fra link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Introduksjon til samtidsrettsfilosofi. (Pp.48-49). Hentet fra books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) The Axiomatic Method, a reading of Ricardo Nirenberg, Fall 1996, University at Albany, Project Renaissance. Tatt fra Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert mellom den formelle og den uformelle siden av matematikk. Manuskript vol. 38 nr. 2, Campinas juli / Augusto 2015. Tatt fra scielo.br.