EULERS METODE: HVA DEN ER TIL, PROSEDYRE OG ØVELSER - MATTE - 2026

Den Euler-metoden er den mest grunnleggende og enkle prosedyrer som benyttes for å finne numeriske løsninger omtrentlig til en vanlig differensialligning av den første orden, forutsatt at den opprinnelige tilstand er kjent.

En vanlig differensialligning (ODE) er ligningen som relaterer en ukjent funksjon av en enkelt uavhengig variabel med dens derivater.

Påfølgende tilnærminger etter Eulers metode. Kilde: Oleg Alexandrov

Hvis det største derivatet som vises i ligningen er av grad 1, er det en vanlig differensialligning av den første graden.

Den mest generelle måten å skrive en ligning på den første graden er:

x = x ₀

y = y ₀

Hva er Eulers metode?

Ideen med Eulers metode er å finne en numerisk løsning på differensialligningen i intervallet mellom X ₀ og X _f .

For det første diskresiseres intervallet i n + 1 poeng:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Som oppnås slik:
x _i = x ₀ + ih

Hvor h er bredden eller trinnet til delintervallene:

Med den første tilstanden, er det også mulig å kjenne derivatet i begynnelsen:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Dette derivatet representerer helningen på tangentlinjen til kurven for funksjonen y (x) nøyaktig på punktet:

Ao = (x _o , y _o )

Deretter gjøres en omtrentlig prediksjon av verdien til funksjonen y (x) på følgende punkt:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Det neste omtrentlige punktet av løsningen er da oppnådd, noe som vil tilsvare:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Prosedyren gjentas for å oppnå de påfølgende poeng

A ₂ , A ₃ …, x _n

I figuren vist i begynnelsen representerer den blå kurven den eksakte løsningen av differensialligningen, og den røde representerer de påfølgende omtrentlige punkter oppnådd ved Euler-prosedyren.

Løste øvelser

Oppgave 1

I ) La differensialligningen være:

Med startbetingelsen x = a = 0; og _a = 1

Ved hjelp av Eulers metode, få en omtrentlig løsning av y ved koordinaten X = b = 0,5, og del inn intervallet i n = 5 deler.

Løsning

De numeriske resultatene er oppsummert som følger:

Fra dette konkluderes det med at løsningen Y for verdien 0,5 er 1,4851.

Merk: Smath Studio, et gratis program for gratis bruk, har blitt brukt til å utføre beregningene.

Oppgave 2

II ) Fortsetter med differensialligningen fra øvelse I), finn den nøyaktige løsningen og sammenlign den med resultatet oppnådd ved Eulers metode. Finn feilen eller forskjellen mellom det nøyaktige og det omtrentlige resultatet.

Løsning

Den nøyaktige løsningen er ikke veldig vanskelig å finne. Derivatet av funksjonen sin (x) er kjent for å være funksjonen cos (x). Derfor vil løsningen y (x) være:

y (x) = sin x + C

For at den opprinnelige betingelsen skal være oppfylt og (0) = 1, må konstanten C være lik 1. Det nøyaktige resultatet sammenlignes deretter med det omtrentlige:

Det konkluderes med at tilnærmingen i det beregnede intervallet har tre viktige presisjonstall.

Oppgave 3

III ) Vurder differensialligningen og dens begynnelsesbetingelser gitt nedenfor:

y '(x) = - y ²

Med startbetingelsen x ₀ = 0; og ₀ = 1

Bruk Eulers metode for å finne omtrentlige verdier av løsningen y (x) på intervallet x =. Bruk trinn h = 0,1.

Løsning

Eulers metode er veldig egnet for bruk med et regneark. I dette tilfellet bruker vi geogebra regnearket, et gratis og åpen kildekode-program.

Regnearket i figuren viser tre kolonner (A, B, C), den første er variabelen x, den andre kolonnen representerer variabelen y, og den tredje kolonnen er derivatet y '.

Rad 2 inneholder startverdiene til X, Y, Y '.

Verdistegnet 0.1 er plassert i den absolutte posisjonscellen ($ D $ 4).

Den opprinnelige verdien av y0 er i celle B2, og y1 er i celle B3. For å beregne y ₁ brukes formelen:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Denne regnearkformelen vil være nummer B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Tilsvarende ville y2 være i celle B4, og dens formel er vist i følgende figur:

Figuren viser også grafen for den nøyaktige løsningen, og punktene A, B, …, P for den omtrentlige løsningen etter Eulers metode.

Newtonsk dynamikk og Eulers metode

Klassisk dynamikk ble utviklet av Isaac Newton (1643 - 1727). Den opprinnelige motivasjonen til Leonard Euler (1707 - 1783) for å utvikle sin metode, var nettopp å løse likningen av Newtons andre lov i forskjellige fysiske situasjoner.

Newtons andre lov uttrykkes vanligvis som en differensiallikning av den andre graden:

Hvor x representerer posisjonen til et objekt på tidspunktet t. Nevnte objekt har en masse m og er utsatt for en styrke F. Funksjonen f er relatert til kraft og masse som følger:

For å anvende Eulers metode er de første verdiene for tid t, hastighet v og posisjon x påkrevd.

Følgende tabell forklarer hvordan man starter fra startverdiene t1, v1, x1, en tilnærming av hastigheten v2 og posisjonen x2 kan oppnås, på det øyeblikket t2 = t1 + Δt, hvor representst representerer en liten økning og tilsvarer trinnet i metoden til Euler.

Oppgave 4

IV ) Et av de grunnleggende problemene i mekanikken er den av en blokk med masse M bundet til en fjær (eller fjær) med elastisk konstant K.

Newtons andre lov for dette problemet vil se slik ut:

I dette eksemplet vil vi for enkelhets skyld ta M = 1 og K = 1. Finn omtrentlige løsninger på posisjonen x og hastigheten v ved Euler-metode på tidsintervallet ved å dele inn intervallet i 12 deler.

Ta 0 som første øyeblikk, begynnelseshastighet 0 og startposisjon 1.

Løsning

De numeriske resultatene vises i følgende tabell:

Posisjons- og hastighetsgrafene mellom tidene 0 og 1,44 vises også.

Foreslåtte øvelser for hjemmet

Oppgave 1

Bruk et regneark for å bestemme en omtrentlig løsning ved å bruke Euler metode for differensialligningen:

y '= - Exp (-y) med startbetingelsene x = 0, y = -1 i intervallet x =

Begynn med et 0,1 trinn. Plott resultatet.

Oppgave 2

Ved hjelp av et regneark, finn numeriske løsninger på følgende kvadratiske ligning, der y er en funksjon av den uavhengige variabelen t.

y '' = - 1 / y² med startbetingelsen t = 0; og (0) = 0,5; y '(0) = 0

Finn løsningen i intervallet ved å bruke et trinn på 0,05.

Plott resultatet: y vs t; y 'vs t

referanser

1. Eurler-metoden hentet fra wikipedia.org
2. Euler-løser. Hentet fra en.smath.com