GAUSS-SEIDEL METODE: FORKLARING, APPLIKASJONER, EKSEMPLER - MATTE - 2026

Den Gauss-Seidel -metoden er en iterativ prosedyre for å finne tilnærmede løsninger til et system av lineære algebraiske ligninger med vilkårlig valgt presisjon. Metoden brukes på firkantede matriser med ikke-nulelementer i diagonalene og konvergens er garantert hvis matrisen er diagonalt dominerende.

Den ble opprettet av Carl Friedrich Gauss (1777-1855), som ga en privat demonstrasjon til en av studentene sine i 1823. Den ble senere formelt utgitt av Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) i 1874, derav navnet av begge matematikere.

Figur 1. Gauss-Seidel-metoden konvergerer raskt for å oppnå løsningen av et ligningssystem. Kilde: F. Zapata.

For en fullstendig forståelse av metoden, er det nødvendig å vite at en matrise er diagonalt dominerende når den absolutte verdien av diagonalelementet i hver rad er større enn eller lik summen av de absolutte verdiene til de andre elementene i den samme raden.

Matematisk uttrykkes det slik:

Forklaring ved bruk av en enkel sak

For å illustrere hva Gauss-Seidel-metoden består av, vil vi ta et enkelt tilfelle, der verdiene til X og Y kan finnes i 2 × 2-systemet med lineære ligninger vist nedenfor:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Fremgangsmåte for å følge

1- For det første er det nødvendig å avgjøre om konvergensen er trygg. Det blir umiddelbart observert at det faktisk er et diagonalt dominerende system, siden den første koeffisienten i den første raden har en høyere absolutt verdi enn de andre i den første raden:

-5 -> - 2-

På samme måte er den andre koeffisienten i den andre raden også diagonalt dominerende:

--4 -> - 1-

2- Variablene X og Y blir slettet:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- En vilkårlig startverdi plasseres, kalt "frø": Xo = 1, I = 2.

4-Iterasjonen begynner: for å oppnå den første tilnærmingen X1, Y1, blir frøet erstattet i den første ligningen i trinn 2 og resultatet i den andre ligningen i trinn 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Vi fortsetter på lignende måte for å oppnå den andre tilnærmingen av løsningen av ligningssystemet:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Tredje iterasjon:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Fjerde iterasjon, som den endelige iterasjonen av denne illustrerende saken:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Disse verdiene stemmer godt overens med løsningen som er funnet ved andre oppløsningsmetoder. Leseren kan raskt sjekke det ved hjelp av et online matteprogram.

Analyse av metoden

Som det fremgår, i Gauss-Seidel-metoden, må de omtrentlige verdiene oppnådd for den forrige variabelen i samme trinn erstattes i den følgende variabelen. Dette skiller det fra andre iterative metoder som Jacobi, der hvert trinn krever tilnærminger fra forrige trinn.

Gauss-Seidel-metoden er ikke en parallell prosedyre, mens Gauss-Jordan-metoden er det. Det er også grunnen til at Gauss-Seidel-metoden har en raskere konvergens - i færre trinn - enn Jordan-metoden.

Når det gjelder den diagonalt dominerende matrisetilstanden, er ikke alltid dette tilfredsstilt. Imidlertid er det i de fleste tilfeller ganske enkelt å bytte radene fra det originale systemet for at betingelsen er oppfylt. Videre konverterer metoden nesten alltid, selv når tilstanden til diagonal dominans ikke er oppfylt.

Det forrige resultatet, oppnådd ved fire iterasjoner av Gauss-Seidel-metoden, kan skrives i desimalform:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Den nøyaktige løsningen på det foreslåtte ligningssystemet er:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Så med bare 4 iterasjoner får du et resultat med en tusendels presisjon (0,001).

Figur 1 illustrerer hvordan suksessive iterasjoner raskt konvergerer til den nøyaktige løsningen.

applikasjoner

Gauss-Seidel-metoden er ikke begrenset til bare 2 × 2-system med lineære ligninger. Den forrige prosedyren kan generaliseres for å løse et lineært system med n-ligninger med n ukjente, som er representert i en matrise som denne:

A X = b

Hvor A er en nxn-matrise, mens X er vektoren n-komponenter i n-variablene som skal beregnes; og b er en vektor som inneholder verdiene til de uavhengige begrepene.

For å generalisere sekvensen av iterasjoner brukt i det illustrerende tilfellet til et nxn-system, der variabelen Xi vil bli beregnet fra, vil følgende formel bli brukt:

I denne ligningen:

- k er indeksen for verdien oppnådd i iterasjon k.

-k + 1 indikerer den nye verdien i det følgende.

Det endelige antall iterasjoner bestemmes når verdien oppnådd i iterasjon k + 1 avviker fra den oppnådd umiddelbart før, med en mengde e som er nøyaktig den ønskede presisjon.

Eksempler på Gauss-Seidel-metoden

- Eksempel 1

Skriv en generell algoritme som gjør det mulig å beregne vektoren til omtrentlige løsninger X av et lineært ligningssystem nxn, gitt matrisen til koeffisientene A, vektoren med uavhengige termer b , antall iterasjoner (i ter) og den opprinnelige verdien eller "frø "av vektoren X .

Løsning

Algoritmen består av to "Til" -sykluser, en for antall iterasjoner og den andre for antall variabler. Det vil være som følger:

For k ∊

For jeg ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Eksempel 2

Sjekk driften av den forrige algoritmen gjennom applikasjonen i det gratis og gratis å bruke matematisk programvare SMath Studio, tilgjengelig for Windows og Android. Ta som eksempel saken om 2 × 2-matrisen som hjalp oss med å illustrere Gauss-Seidel-metoden.

Løsning

Figur 2. Løsning av ligningssystemet i 2 x 2-eksemplet ved bruk av SMath Studio-programvaren. Kilde: F. Zapata.

- Eksempel 3

Bruk Gauss-Seidel-algoritmen for følgende 3 × 3 ligningssystem, som tidligere er blitt ordnet på en slik måte at koeffisientene til diagonalen er dominerende (det vil si større absolutt verdi enn absolutte verdier for koeffisientene til samme rad):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Bruk nullvektoren som et frø og vurder fem iterasjoner. Kommenter resultatet.

Løsning

Figur 3. Løsning av ligningssystemet i løst eksempel 3 ved bruk av SMath Studio. Kilde: F. Zapata.

For samme system med 10 iterasjoner i stedet for 5 oppnås følgende resultater: X1 = -0.485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Dette forteller oss at fem iterasjoner er nok til å oppnå tre desimaler med presisjon, og at metoden raskt konvergerer til løsningen.

- Eksempel 4

Ved hjelp av Gauss-Seidel-algoritmen gitt ovenfor, finn løsningen på 4 × 4-ligningssystemet gitt nedenfor:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

For å starte metoden, bruk dette frøet:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 og x4 = 0

Vurder 10 iterasjoner og estimer feilen i resultatet sammenlignet med iterasjon nummer 11.

Løsning

Figur 4. Løsning av ligningssystemet i løst eksempel 4 ved bruk av SMath Studio. Kilde: F. Zapata.

Når du sammenligner med neste iterasjon (nummer 11), er resultatet identisk. De største forskjellene mellom de to iterasjonene er i størrelsesorden 2 × 10 ^-8 , noe som betyr at den viste løsningen har en presisjon på minst syv desimaler.

referanser

1. Iterative løsningsmetoder. Gauss-Seidel. Gjenopprettet fra: cimat.mx
2. Numeriske metoder. Gauss-Seidel. Gjenopprettet fra: test.cua.uam.mx
3. Numerisk: Gauss-Seidel-metoden. Gjenopprettet fra: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Gauss-Seidel-metoden. Gjenopprettet fra: no. wikipedia.com
5. Wikipedia. Gauss-Seidel-metoden. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com