INVERS MATRISE: BEREGNING OG LØST TRENING - MATTE - 2026

Den inverse matrisen til en gitt matrise er matrisen som multiplisert med originalen gir identitetsmatrisen. Den inverse matrisen er nyttig for å løse systemer med lineære ligninger, derav viktigheten av å vite hvordan man beregner den.

Matriser er veldig nyttige i fysikk, ingeniørfag og matematikk, da de er et kompakt verktøy for å løse komplekse problemer. Nytten av matriser forbedres når de er invertible, og deres inverse er også kjent.

Figur 1. En generisk 2 × 2-matrise og dens inverse matrise er vist. (Utarbeidet av Ricardo Pérez)

Innen grafisk prosessering, Big Data, Data Mining, Machine Learning og andre, brukes effektive og raske algoritmer for å evaluere den inverse matrisen til nxn-matriser med veldig store n, i størrelsesorden tusenvis eller millioner.

For å illustrere bruken av den inverse matrisen i håndtering av et system med lineære ligninger, vil vi starte med det enkleste tilfellet av alle: 1 × 1 matriser.

Det enkleste tilfellet: en lineær ligning av en enkelt variabel vurderes: 2 x = 10.

Tanken er å finne verdien av x, men det vil bli gjort "matrise".

Matrisen M = (2) som multipliserer vektoren (x) er en 1 × 1 matrise som resulterer i vektoren (10):

M (x) = (10)

Det inverse av matrisen M er betegnet med M ^-1 .

Den generelle måten å skrive dette "lineære systemet" er:

MX = B, hvor X er vektoren (x) og B er vektoren (10).

Per definisjon er den inverse matrisen den som multiplisert med den opprinnelige matrisen resulterer i identitetsmatrisen I:

M ^-1 M = I

I det tilfellet som er vurdert, er matrisen M ^-1 matrisen (½), det vil si M ^-1 = (½) siden M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

For å finne den ukjente vektoren X = (x) multipliseres begge medlemmene i den foreslåtte ligningen med den inverse matrisen:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

En likhet på to vektorer er oppnådd, som bare er like når de tilsvarende elementene er like, det vil si x = 5.

Beregner det inverse av en matrise

Det som motiverer beregningen av den inverse matrisen er å finne en universell metode for løsning av lineære systemer som følgende 2 × 2-system:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Etter trinnene i 1 × 1-saken, studert i forrige seksjon, skriver vi ligningssystemet i matriksform:

Figur 2. Lineært system i matriseform.

Merk at dette systemet er skrevet i kompakt vektornotasjon som følger:

MX = B

hvor

Neste trinn er å finne det inverse av M.

Metode 1: Bruke Gauss eliminering

Den Gaussiske eliminasjonsmetoden vil bli brukt. Som består av å utføre elementære operasjoner på radene av matrisen, disse operasjonene er:

- Multipliser en rad med et ikke-null tall.

- Legg til eller trekk fra en annen rad fra en rad, eller multiplen av en annen rad.

- Bytt radene.

Målet er gjennom disse operasjonene å konvertere den opprinnelige matrisen til identitetsmatrisen.

Da dette er gjort, blir i samme matrise M nøyaktig de samme operasjonene brukt på identitetsmatrisen. Når M, etter flere operasjoner på radene, blir transformert til enhetsmatrisen, vil den som opprinnelig var enheten bli den inverse matrisen til M, det vil si M ^-1 .

1- Vi begynner prosessen med å skrive matrisen M og ved siden av den matrisen:

2- Vi legger til de to radene og legger resultatet i den andre raden, på denne måten får vi null i det første elementet i den andre raden:

3- Vi multipliserer den andre raden med -1 for å oppnå 0 og 1 i den andre raden:

4- Den første raden ganges med ½:

5- Det andre og det første legges til, og resultatet plasseres i den første raden:

6- Nå for å fullføre prosessen multipliseres den første raden med 2 for å få identitetsmatrisen i den første raden og den inverse matrisen til den opprinnelige matrisen M i den andre:

Det er å si:

Systemløsning

Når den inverse matrisen er oppnådd, løses ligningssystemet ved å påføre den inverse matrisen på begge delene av den kompakte vektorligningen:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Som eksplisitt ser slik ut:

Deretter utføres matrise-multiplikasjon for å oppnå vektor X:

Metode 2: bruk av vedlagt matrise

I denne andre fremgangsmåten den inverse matrisen blir beregnet fra den adjungerte matrise av den opprinnelige matrisen A .

Anta at en matrise A gitt av:

hvor _{i, j} er det element i rekke i og j kolonne av matrisen A .

Tilgrensningen til matrise A vil bli kalt Adj (A) og dens elementer er:

annonse _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

hvor Ai, j er den komplementære nedre matrise som blir oppnådd ved å eliminere en rekke i og kolonne j av den opprinnelige matrisen A . Søylene ¦ ¦ indikerer at determinanten er beregnet, det vil si ¦Ai, j¦ er determinanten for den mindre komplementære matrisen.

Invers matrixformel

Formelen for å finne den inverse matrisen som starter fra den tilstøtende matrisen til den opprinnelige matrisen er som følger:

Er, den inverse matrise av A , A ^-1 , er den transponerte av den adjungerte av A dividert med determinant av A .

Transponering A ^T av en matrise A oppnås ved å utveksle rader for kolonner, det vil si den første raden blir den første kolonnen og den andre raden blir den andre kolonnen og så videre til de n radene i den opprinnelige matrisen er fullført.

Trening løst

La matrisen A være følgende:

Hvert eneste element i den tilstøtende matrisen til A beregnes: Adj (A)

Resultatet er at den tilstøtende matrisen til A, Adj (A) er følgende:

Deretter beregnes determinanten for matrise A, det (A):

Til slutt oppnås den inverse matrisen til A:

referanser

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Bestått publisering.
2. Awol Assen (2013) En studie om beregning av determinanter for en 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Introduksjon til lineær algebra. ESIC-redaksjon.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematikk: De 50 mest sinnsutvidende teoriene i matematikk. Ivy Press Limited.
7. Matrise. Lap Lambert Academic Publishing.