Det er en ortogonal matrise når matrisen multiplisert med dens transponering resulterer i identitetsmatrisen. Hvis inverse av en matrise er lik transposen, er den opprinnelige matrisen ortogonal.
Ortogonale matriser har karakteristikken at antall rader er lik antall kolonner. Videre er radvektorene enhetlige ortogonale vektorer og transponerende radvektorer er også.
Figur 1. Eksempel på ortogonal matrise og hvordan den transformerer geometriske objekter. (Utarbeidet av Ricardo Pérez)
Når en ortogonal matrise multipliseres med vektorene i et vektorrom, produserer den en isometrisk transformasjon, det vil si en transformasjon som ikke endrer avstandene og bevarer vinklene.
En typisk representant for ortogonale matriser er rotasjonsmatriser. Transformasjonene av ortogonale matriser på et vektorrom kalles ortogonale transformasjoner.
De geometriske rotasjons-transformasjoner og refleksjon av punkter representert ved deres kartesiske vektorer utføres ved å påføre ortogonale matriser på de originale vektorene for å oppnå koordinatene til de transformerte vektorene. Det er av denne grunn at ortogonale matriser brukes mye i databehandlingsgrafikk.
Egenskaper
En matrise M er ortogonal hvis multiplisert med dens transponerte M T gir som resultat identitetsmatrisen I . Tilsvarende resulterer produktet i transponering av en ortogonal matrise med den opprinnelige matrisen i identitetsmatrisen:
MM T = M T M = I
Som en konsekvens av forrige utsagn, har vi at transponering av en ortogonal matrise er lik den inverse matrisen:
M T = M -1 .
Settet ortogonale matriser med dimensjon nxn danner den ortogonale gruppen O (n). Og delmengden av O (n) av ortogonale matriser med determinant +1 danner gruppen av unitære spesialmatriser SU (n). Matrisene til gruppen SU (n) er matriser som produserer lineære rotasjonsforandringer, også kjent som gruppen av rotasjoner.
Demonstrasjon
Vi vil vise at en matrise er ortogonal hvis, og bare hvis radvektorene (eller kolonnevektorene) er ortogonale til hverandre og av norm 1.
Anta at radene til en ortogonal matrise nxn er n orthonormale vektorer med dimensjon n. Hvis det er betegnet med v 1 , v 2 , …, gjelder V n til n-vektorene:
Hvor det er tydelig at settet med radvektorer faktisk er et sett med ortogonale vektorer med norm en.
eksempler
Eksempel 1
Vis at 2 x 2-matrisen som i sin første rad har vektoren v1 = (-1 0) og i sin andre rad er vektoren v2 = (0 1) en ortogonal matrise.
Løsning: Matrisen M er konstruert og dens transponering M T beregnes :
I dette eksemplet er matrisen M selvtransponert, det vil si matrisen og dens transponering er identiske. Multipliser M ved å transponere M T :
Det er bekreftet at MM T er lik identitetsmatrisen:
Når matrisen M multipliseres med koordinatene til en vektor eller et punkt, oppnås nye koordinater som tilsvarer transformasjonen som matrisen gjør på vektoren eller punktet.
Figur 1 viser hvordan M transformerer vektoren u til u ' og også hvordan M transformerer den blå polygonen til den røde polygonen. Siden M er ortogonal, er det da en ortogonal transformasjon, som bevarer avstandene og vinklene.
Eksempel 2
Anta at du har en 2 x 2 matrise definert i realene gitt av følgende uttrykk:
Finn de virkelige verdiene til a, b, c og d slik at matrisen M er en ortogonal matrise.
Løsning: Per definisjon er en matrise ortogonal hvis multiplisert med dens transponering oppnås identitetsmatrisen. Husk at den transponerte matrisen er hentet fra de originale, bytter radene for kolonner, oppnås følgende likhet:
Utfører matrise multiplikasjon vi har:
Ved å sammenlikne elementene i den venstre matrisen med elementene i identitetsmatrisen til høyre, får vi et system med fire ligninger med fire ukjente a, b, c og d.
Vi foreslår for a, b, c og d følgende uttrykk når det gjelder trigonometriske forhold sinus og kosinus:
Med dette forslaget og på grunn av den grunnleggende trigonometriske identiteten, blir de første og tredje likningene automatisk tilfredsstilt i likheten mellom matriseelementene. Den tredje og fjerde ligning er de samme, og i matrise-likhet etter å ha erstattet de foreslåtte verdiene ser det slik ut:
som fører til følgende løsning:
Til slutt oppnås følgende løsninger for den ortogonale matrisen M:
Legg merke til at den første av løsningene har determinant +1 slik at den tilhører gruppen SU (2), mens den andre løsningen har determinant -1 og derfor ikke tilhører denne gruppen.
Eksempel 3
Gitt følgende matrise, finn verdiene til a og b slik at vi har en ortogonal matrise.
Løsning: For at en gitt matrise skal være ortogonal, må produktet med sin transponering være identitetsmatrisen. Deretter blir matriksproduktet til den gitte matrisen med sin transponerte matrise utført, hvilket gir følgende resultat:
Dernest blir resultatet likestilt med identitetsmatrisen 3 x 3:
I den andre raden har den tredje kolonnen (ab = 0), men a kan ikke være null, for ellers ville likheten mellom elementene i den andre raden og den andre kolonnen ikke være oppfylt. Da nødvendigvis b = 0. Å erstatte b for verdien 0 vi har:
Da blir likningen løst: 2a ^ 2 = 1, hvis løsninger er: + ½√2 og -½√2.
Tar man den positive løsningen for a oppnås følgende ortogonal matrise:
Leseren kan enkelt verifisere at radvektorene (og også søylevektorene) er ortogonale og enhetlige, det vil si ortonormale.
Eksempel 4
Vis at matrisen A hvis radvektorer er v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) og v3 = (0 0 -1) er en ortogonal matrise. I tillegg finner vektorene transformert fra den kanoniske basis i, j, k til vektorer u1 , u2 og u3 .
Løsning: Det må huskes at elementet (i, j) i en matrise multiplisert med dets transponering, er prikkproduktet til vektoren i rad (i) med det i kolonnen (j) i transposen. Videre er dette produktet lik Kronecker-deltaet i tilfelle at matrisen er ortogonal:
I vårt tilfelle ser det slik ut:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Som det vises at det er en ortogonal matrise.
Videre u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) og til slutt u3 = A k = (0, 0, -1)
referanser
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Bestått publisering.
- Birkhoff og MacLane. (1980). Modern Algebra, red. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Introduksjon til lineær algebra. ESIC-redaksjon.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematikk: De 50 mest sinnsutvidende teoriene i matematikk. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Ortogonal matrise. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ortogonal matrise. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com