ATOMMODELL AV DIRAC JORDAN: KJENNETEGN OG POSTULATER - FYSISK

Den Dirac-Jordan atom modell er den relativistiske generalisering av Hamilton operatør i ligningen som beskriver quantum bølgefunksjonen av elektronet. I motsetning til den forrige modellen, Schrodingers modell, er det ikke nødvendig å pålegge spinnet ved hjelp av Pauli-ekskluderingsprinsippet, siden det fremstår naturlig.

I tillegg inkluderer Dirac-Jordan-modellen relativistiske korreksjoner, samspill mellom spinnbane og Darwin-betegnelsen, som står for den fine strukturen til atomets elektroniske nivåer.

Figur 1. Elektroniske orbitaler i hydrogenatom for de tre første energinivåene. Kilde: Wikimedia Commons.

Fra 1928 forsøkte forskerne Paul AM Dirac (1902-1984) og Pascual Jordan (1902-1980) å generalisere kvantemekanikken som ble utviklet av Schrodinger, slik at den inkluderte Einsteins spesielle relativitetskorreksjoner.

Dirac starter fra Schrodinger-ligningen, som består av en differensialoperatør, kalt Hamiltonian, som opererer på en funksjon kjent som elektronbølgefunksjonen. Schrodinger tok imidlertid ikke hensyn til relativistiske effekter.

Løsningene til bølgefunksjonen gjør det mulig for oss å beregne områdene hvor elektronet med en viss sannsynlighet vil bli funnet rundt kjernen. Disse regionene eller sonene kalles orbitaler og avhenger av bestemte diskrete kvantetall, som definerer energien og vinkelmomentet til elektronet.

postulater

I kvantemekaniske teorier, enten det er relativistisk eller ikke, er det ingen begreper i baner, siden verken elektronets posisjon eller hastighet kan spesifiseres samtidig. Videre fører spesifisering av en av variablene til total impresjon i den andre.

Hamiltonian er på sin side en matematisk operatør som virker på kvantebølgefunksjonen og er bygd fra elektronets energi. For eksempel har et gratis elektron total energi E som avhenger av dets lineære momentum p slik:

E = ( p ² ) / 2m

For å konstruere Hamiltonian, tar vi utgangspunkt i dette uttrykket og erstatter p for kvanteoperatøren for momentum:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Det er viktig å merke seg at p- og p- ordene er forskjellige, siden den første er momentumet og den andre er differensialoperatøren tilknyttet momentum.

I tillegg er i den imaginære enheten og Plan Planck-konstanten delt med 2π, på denne måten oppnås Hamilton-operatøren H for det frie elektronet:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

For å finne hamiltonian av elektronet i atomet, legg til interaksjonen mellom elektronet og kjernen:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

I det forrige uttrykket -e er den elektriske ladningen til elektronet og Φ (r) det elektrostatiske potensialet som produseres av den sentrale kjernen.

Nå opererer operatøren H på bølgefunksjonen ψ i henhold til Schrodinger-ligningen, som er skrevet slik:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Diracs fire postulater

Første postulat : den relativistiske bølgeforlikningen har samme struktur som Schrodinger-bølgeforlikningen, det som endrer seg er H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Andre postulat : den Hamiltonianske operatøren er konstruert med utgangspunkt i Einsteins forhold mellom energi og fart, som er skrevet som følger:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ² ) ^1/2

I forrige forhold, hvis partikkelen har momentum p = 0, har vi den berømte ligningen E = mc ² som relaterer energien i resten av en hvilken som helst partikkel med masse m med lysets hastighet c.

Tredje postulat : for å få Hamiltonian-operatøren brukes den samme kvantiseringsregelen som ble brukt i Schrodinger-ligningen:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

I begynnelsen var det ikke klart hvordan man skulle håndtere denne differensialoperatøren som opptrer i en kvadratrot, så Dirac satte seg for å skaffe en lineær Hamiltonian-operatør på momentumoperatøren og derfra oppsto hans fjerde postulat.

Fjerde postulat : for å kvitte seg med kvadratroten i den relativistiske energiformelen, foreslo Dirac følgende struktur for E ² :

Selvfølgelig er det nødvendig å bestemme alfa-koeffisientene (α0, α1, α2, α3) for at dette skal være sant.

Diracs ligning

I sin kompakte form regnes Dirac-ligningen som en av de vakreste matematiske ligningene i verden:

Figur 2. Dirac-ligning i kompakt form. Kilde: F. Zapata.

Og det er da det blir klart at den konstante alfasen ikke kan være skalare mengder. Den eneste måten likheten til det fjerde postulatet blir oppfylt er at de er konstante 4 × 4 matriser, som er kjent som Dirac-matriser:

Vi observerer umiddelbart at bølgefunksjonen slutter å være en skalarfunksjon og blir en vektor med fire komponenter som kalles en spinor:

Dirac-Jordan-atomet

For å få atommodellen er det nødvendig å gå fra ligningen for det frie elektronet til det for elektronet i det elektromagnetiske feltet produsert av atomkjernen. Dette samspillet tas i betraktning ved å inkorporere det skalære potensialet Φ og vektorpotensialet A i Hamiltonian:

Bølgefunksjonen (spinor) som er resultatet av å integrere denne Hamiltonian har følgende egenskaper:

- Oppfyller spesiell relativitet, siden den tar hensyn til elektronens egen energi (første term av den relativistiske Hamiltonian)

- Den har fire løsninger som tilsvarer de fire komponentene i spinor

- De to første løsningene tilsvarer den ene til spin + ½ og den andre til spin - ½

- Til slutt forutsier de to andre løsningene eksistensen av antimaterie, siden de tilsvarer den til positroner med motsatte spinn.

Den store fordelen med Dirac-ligningen er at korreksjonene til den grunnleggende Schrodinger Hamiltonian H (o) kan deles inn i flere uttrykk som vi vil vise nedenfor:

I det forrige uttrykket V er det skalære potensialet, siden vektorpotensialet A er null hvis det sentrale protonet antas å være stasjonært og derfor ikke vises.

Årsaken til at Dirac-korreksjonene til Schrodinger-løsningene i bølgefunksjonen er subtile. De stammer fra det faktum at de tre siste begrepene i den korrigerte Hamiltonianen er delt på hastigheten c til lyset i kvadratet, et stort antall, noe som gjør disse begrepene numerisk små.

Relativistiske korreksjoner til energispekteret

Ved å bruke Dirac-Jordan-ligningen finner vi korreksjoner til energispekteret til elektronet i hydrogenatom. Korreksjoner for energi i atomer med mer enn ett elektron i omtrentlig form finnes også gjennom en metodikk kjent som perturbasjonsteori.

På samme måte tillater Dirac-modellen oss å finne den fine strukturkorreksjonen i hydrogenenerginivået.

Imidlertid oppnås enda mer subtile korreksjoner som den hyperfine strukturen og lammeskiftet fra mer avanserte modeller som kvantefeltteori, som ble født nettopp fra bidragene fra Dirac-modellen.

Følgende figur viser hvordan Diracs relativistiske korreksjoner på energinivåene ser ut:

Figur 3. Korreksjoner av Dirac-modellen til nivåene av hydrogenatom. Kilde: Wikimedia Commons.

For eksempel forutsier løsningene på Dirac-ligningen riktig et observert skifte på nivå 2s. Det er den velkjente finstrukturkorreksjonen i Lyman-alpha-linjen i hydrogenspektrumet (se figur 3).

For øvrig er den fine strukturen navnet gitt i atomfysikk for dobling av linjene i utslippsspekteret til atomer, som er en direkte følge av elektronisk spinn.

Figur 4. Fin struktur splitting for grunntilstanden n = 1 og den første eksiterte tilstanden n = 2 i hydrogenatom. Kilde: R Wirnata. Relativistiske korreksjoner til hydrogenlignende atomer. Researchgate.net

Artikler av interesse

De Broglie atommodell.

Chadwicks atommodell.

Heisenberg atommodell.

Perrins atommodell.

Thomsons atommodell.

Daltons atommodell.

Schrödingers atommodell.

Atommodell av Democritus.

Bohrs atommodell.

referanser

Atomteori. Gjenopprettet fra wikipedia.org.
Elektronmagnetisk øyeblikk. Gjenopprettet fra wikipedia.org.
Quanta: En håndbok med konsepter. (1974). Oxford University Press. Gjenopprettet fra Wikipedia.org.
Dirac Jordan atommodell. Gjenopprettet fra prezi.com.
Det nye kvanteuniverset. Cambridge University Press. Gjenopprettet fra Wikipedia.org.

ATOMMODELL AV DIRAC JORDAN: KJENNETEGN OG POSTULATER - FYSISK - 2026