TREGHETSMOMENT: FORMLER, LIGNINGER OG BEREGNINGSEKSEMPLER - FYSISK - 2026

Den treghetsmoment av et stivt legeme i forhold til en viss rotasjonsakse representerer dens motstand mot å endre sin vinkelhastigheten rundt nevnte akse. Den er proporsjonal med massen og også plasseringen av rotasjonsaksen, siden kroppen, avhengig av dens geometri, lettere kan rotere rundt visse akser enn i andre.

Anta en stor gjenstand (bestående av mange partikler) som kan rotere rundt en akse. Anta at en kraft F virker , påført tangentielt på massen elementet im _i , som produserer et moment eller moment, gitt av τ _net = ∑ r _i x F _i . Vektoren r _i er posisjonen til im _i (se figur 2).

Figur 1. Treghetsmomenter fra forskjellige figurer. Kilde: Wikimedia Commons.

Dette øyeblikket er vinkelrett på rotasjonsplanet (retning + k = forlater papiret). Siden kraften og den radielle posisjonsvektoren alltid er vinkelrett, forblir tverrproduktet:

_Netto τ = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Figur 2. En partikkel som tilhører et stivt faststoff i rotasjon. Kilde: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Volum 1. Cengage Learning.

Akselerasjonen a _i representerer den tangensielle komponenten i akselerasjonen, siden den radielle akselerasjonen ikke bidrar til dreiemomentet. Som en funksjon av vinkelakselerasjonen α, kan vi indikere at:

Derfor ser nettmomentet slik ut:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Vinkelakselerasjonen α er den samme for hele objektet, derfor påvirkes den ikke av underskriptet "i" og kan forlate summasjonen, som nettopp er treghetsmomentet til objektet symbolisert med bokstaven I:

Dette er treghetsmomentet for en diskret massefordeling. Når fordelingen er kontinuerlig, erstattes summeringen med en integral og Δm blir en massedifferensial dm. Integralet utføres over hele objektet:

Enhetene for treghetsmomentet i SI International System er kg xm ² . Det er en skalær og positiv mengde, siden det er produktet av en masse og kvadratet på avstand.

Beregningseksempler

Et utvidet objekt, for eksempel en stang, disk, kule eller annet, hvis tetthet ρ er konstant og å vite at tettheten er massevolumforholdet, skrives massedifferansen dm som:

I stedet for integreringen i treghetsøyeblikket har vi:

Dette er et generelt uttrykk, gyldig for et tredimensjonalt objekt, hvis volum V og posisjon r er funksjoner for de romlige koordinatene x, y og z. Vær oppmerksom på at densiteten er konstant og er utenfor integralen.

Tettheten ρ er også kjent som bulktetthet, men hvis gjenstanden er veldig flat, som et ark eller veldig tynt og smalt som en stang, kan andre former for tetthet brukes, la oss se:

- For et veldig tynt ark er tettheten du bruker σ, overflatetettheten (masse per arealenhet) og dA er arealdifferansen.

- Og hvis det er en tynn stang, hvor bare lengden er relevant, brukes den lineære massetettheten λ og en lengdeforskjell, i henhold til aksen som brukes som referanse.

I eksemplene som følger blir alle objekter ansett som stive (ikke deformerbare) og har ensartet tetthet.

Treghetsmoment for en tynn stang med hensyn til en akse som passerer gjennom sentrum

Her skal vi beregne treghetsmomentet til en tynn, stiv, homogen stang, med lengde L og masse M, med hensyn til en akse som går gjennom mediet.

For det første er det nødvendig å etablere et koordinatsystem og bygge en figur med passende geometri, slik:

Figur 3. Geometri for å beregne treghetsmomentet til en tynn stang i forhold til en vertikal akse som går gjennom sentrum. Kilde: F. Zapata.

X-aksen langs stangen og y-aksen ble valgt som rotasjonsakse. Prosedyren for å etablere integralen krever også å velge en massedifferensial på stangen, kalt dm, som har en differensiallengde dx og er plassert i den vilkårlige stillingen x, med hensyn til sentrum x = 0.

I henhold til definisjonen av lineær massetetthet λ:

Siden tettheten er jevn, som er gyldig for M og L, er den også gyldig for dm og dx:

På den annen side er masseelementet i posisjon x, så ved å erstatte denne geometrien i definisjonen, har vi et bestemt integral, hvis grenser er endene av linjen i henhold til koordinatsystemet:

Å erstatte den lineære tettheten λ = M / L:

For å finne treghetsmomentet til stangen i forhold til en annen rotasjonsakse, for eksempel en som passerer gjennom en av ytterpunktene, kan du bruke Steiners teorem (se øvelse løst på slutten) eller utføre en direkte beregning som ligner den vist her, men endre geometrien på riktig måte.

Treghetsmoment for en disk med hensyn til en akse som går gjennom sentrum

En veldig tynn disk med ubetydelig tykkelse er en flat figur. Hvis massen er jevn fordelt over hele overflaten til område A, er massetettheten σ:

Både dm og dA tilsvarer massen og området til differensialringen vist på figuren. Vi vil anta at hele enheten roterer rundt y-aksen.

Du kan forestille deg at disken er sammensatt av mange konsentriske ringer med radius r, hver med sitt respektive treghetsmoment. Hvis du legger til bidragene fra alle ringene til vi når radius R, vil vi ha det totale treghetsmomentet på disken.

Figur 4. Geometri for å beregne treghetsmomentet til en disk, med hensyn til aksialaksen. Kilde: F. Zapata.

Hvor M representerer hele massen på disken. Arealet på en disk avhenger av radiusen r som:

Avlede med hensyn til r:

Ved å erstatte ovennevnte i definisjonen av I:

Å erstatte σ = M / (π.R ² ) får vi:

Treghetsmoment for en solid sfære omtrent en diameter

En sfære med radius R kan betraktes som en serie med disker stablet på toppen av den andre, der hver disk med uendelig masse dm, radius r og tykkelse dz, har et treghetsmoment gitt av:

For å finne denne forskjellen tok vi ganske enkelt formelen fra forrige seksjon og erstattet henholdsvis d og r for M og R. En disk som denne kan sees i geometrien i figur 5.

Figur 5. Geometri for å beregne treghetsmomentet til en solid sfære med radius R med hensyn til en akse som går gjennom en diameter. Kilde: F. Zapata.

Ved å tilsette alle de uendelige treghetsmomentene av stablede disker, oppnås det totale treghetsmomentet til sfæren:

Som tilsvarer:

For å løse integralen må du uttrykke dm på riktig måte. Som alltid oppnås det fra tettheten:

Volumet til en differensial disk er:

Høyden på disken er tykkelsen dz, mens området til basen er πr ² , derfor:

Og i stedet for det foreslåtte integralet vil det se slik ut:

Men før vi integrerer, må vi observere at r - radien til disken - avhenger av z og R - radien til sfæren - som det fremgår av figur 5. Bruke Pythagorean teorem:

Som fører oss til:

For å integrere over hele sfæren bemerker vi at z varierer mellom –R og R, derfor:

Å vite at ρ = M / V = ​​M / endelig oppnås, etter å ha forenklet:

Treghetsmoment for en solid sylinder i forhold til aksialaksen

For dette objektet brukes en metode som ligner på kulen, bare denne gangen er det lettere hvis sylinderen er tenkt å være sammensatt av sylindriske skall med radius r, tykkelse dr og høyde H, som om de var lagene til en løk. .

Figur 6. Geometri for å beregne treghetsmomentet til en solid sylinder med radius R i forhold til aksialaksen. Kilde: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Volum 1. Cengage.

Volumet dV til et sylindrisk lag er:

Derfor er skallmassen:

Dette uttrykket er erstattet i definisjonen av treghetsmoment:

Ligningen ovenfor indikerer at sylinderens treghetsmoment ikke avhenger av lengden, men bare av dens masse og radius. Hvis L skulle endre seg, ville treghetsmomentet om aksialaksen forbli det samme. Av denne grunn sammenfaller jeg i sylinderen med den fra den tidligere beregnede tynne skiven.

Treghetsmoment for et rektangulært ark med hensyn til en akse som passerer gjennom sentrum

Den horisontale y-aksen er valgt som rotasjonsakse. Figuren nedenfor viser geometrien som kreves for å gjennomføre integrasjonen:

Figur 7. Geometri for beregning av treghetsmomentet til en rektangulær plate i forhold til en akse parallelt med arket og passerer gjennom dens sentrum. Kilde: F. Zapata.

Arealelementet markert med rødt er rektangulært. Arealet er base x høyde, derfor:

Derfor er massedifferansen:

Når det gjelder avstanden fra området til rotasjonsaksen, er det alltid z. Vi erstatter alt dette i integreringen av treghetsmomentet:

Nå er overflatemassetettheten σ erstattet av:

Og det ser definitivt slik ut:

Legg merke til at det er som den tynne stangen.

Treghetsmoment for et firkantet ark med hensyn til en akse som går gjennom sentrum

For et kvadrat med side L, i det forrige uttrykket som er gyldig for et rektangel, kan du bare bytte verdien av b for den av L:

Moment of Inertia Theorems

Det er to spesielt nyttige teoremer for å forenkle beregningen av treghetsmomenter i forhold til andre akser, noe som ellers kan være vanskelig å finne på grunn av mangel på symmetri. Disse teoremene er:

Steiners teorem

Også kalt den parallelle aksenes teorem, den relaterer treghetsmomentet til en akse med en annen som går gjennom objektets massesenter, så lenge aksene er parallelle. For å bruke den er det nødvendig å kjenne avstanden D mellom begge akser og selvfølgelig gjenstandens masse M.

La jeg _være treghetsmomentet til et objekt utvidet med hensyn til z-aksen, jeg _CM treghetsmomentet med hensyn til en akse som går gjennom massesenteret (CM) til nevnte objekt, så er det tilfreds med at:

Eller i notasjonen til følgende figur: I _{z '} = I _z + Md ²

Figur 8. Steiners teorem eller parallelle akser. Kilde: Wikimedia Commons. Jack See

Teorem med vinkelrett akser

Dette teoremet brukes på plane flater og går slik: treghetsmomentet til et planobjekt rundt en akse vinkelrett på det er summen av treghetsmomentene rundt to akser vinkelrett på den første aksen:

Figur 9. Teorem på vinkelrett akser. Kilde: F. Zapata.

Hvis objektet har symmetri slik at I _x og I _y er like, er det sant at:

Trening løst

Finn treghetsmomentet til stangen med hensyn til en akse som går gjennom en av endene, som vist på figur 1 (nedenfor og til høyre) og figur 10.

Figur 10. Treghetsmoment for en homogen stang rundt en akse som går gjennom den ene enden. Kilde: F. Zapata.

Løsning:

Vi har allerede treghetsmomentet til stangen rundt en akse som går gjennom det geometriske sentrum. Siden baren er homogen, er massesenteret på det tidspunktet, så dette vil være vår _{CM for} å bruke Steiners teorem.

Hvis lengden på stangen er L, er z-aksen i en avstand D = L / 2, derfor:

referanser

1. Bauer, W. 2011. Fysikk for ingeniørvitenskap og vitenskap. Bind 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
3. Parallell aksestorem. Gjenopprettet fra: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Volum 1. Cengage.
5. Sevilla University. Sfærisk treghetsmoment. Gjenopprettet fra: laplace.us.es.
6. Sevilla University. Treghetsmoment for et partikkelsystem. Gjenopprettet fra: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Parallellakssetning. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org