EULER NUMMER ELLER E NUMMER: HVOR MYE ER DET VERDT, EGENSKAPER, APPLIKASJONER - MATTE - 2026

Den Euler nummer eller antall e er en velkjent matematisk konstant som vises ofte i en rekke vitenskapelige og økonomiske programmer, sammen med antall π og andre viktige tall i matematikk.

En vitenskapelig kalkulator returnerer følgende verdi for tallet e:

Figur 1. Eulers nummer vises ofte i Science. Kilde: F. Zapata.

e = 2.718281828 …

Men mange flere desimaler er kjent, for eksempel:

e = 2,71828182845904523536…

Og moderne datamaskiner har funnet billioner med desimaler for tallet e.

Det er et irrasjonelt tall, noe som betyr at det har et uendelig antall desimaler uten noe gjentagende mønster (sekvensen 1828 vises to ganger i begynnelsen og gjentas ikke lenger).

Og det betyr også at tallet e ikke kan fås som kvoten på to hele tall.

Historie

Nummeret e ble identifisert av forskeren Jacques Bernoulli i 1683 da han studerte problemet med sammensatt interesse, men tidligere hadde det dukket opp indirekte i verkene til den skotske matematikeren John Napier, som oppfant logaritmer rundt 1618.

Imidlertid var det Leonhard Euler i 1727 som ga det navnet nummeret e og studerte intensitetenes egenskaper. Dette er grunnen til at det også er kjent som Euler-nummeret og også som en naturlig base for de naturlige logaritmer (en eksponent) som brukes.

Hvor mye er tallet e verdt?

Tallet e er verdt:

e = 2,71828182845904523536…

Ellipsis betyr at det er et uendelig antall desimaler, og faktisk, med dagens datamaskiner, er millioner av dem kjent.

Representasjoner av tallet e

Det er flere måter å definere e som vi beskriver nedenfor:

Tallet e som en grense

En av de forskjellige måtene antallet e er uttrykt på er den som forskeren Bernoulli fant i sine arbeider med sammensatt interesse:

Der du må gjøre verdien n til et veldig stort tall.

Det er enkelt å sjekke med hjelp av en kalkulator at når n er veldig stort, har det forrige uttrykket en tendens til verdien av e gitt ovenfor.

Selvfølgelig kan vi spørre oss selv hvor stort n kan lages, så la oss prøve runde tall, som disse for eksempel:

n = 1000; 10.000 eller 100.000

I det første tilfellet oppnår vi e = 2.7169239…. I den andre e = 2.7181459 … og i den tredje er den mye nærmere verdien av e: 2.7182682. Vi kan allerede forestille oss at med n = 1 000 000 eller større, vil tilnærmingen bli enda bedre.

I matematisk språk kalles fremgangsmåten for å få n nærmere og nærmere en veldig stor verdi grensen til uendelig og betegnes slik:

For å betegne uendelig brukes symbolet "∞".

Tallet e som en sum

Det er også mulig å definere nummeret e gjennom denne operasjonen:

Tallene som vises i nevneren: 1, 2, 6, 24, 120 … tilsvarer operasjonen n !, hvor:

Og per definisjon 0! = 1.

Det er enkelt å sjekke at jo flere tillegg som er lagt til, desto mer nøyaktig nås e.

La oss gjøre noen tester med kalkulatoren, og legge til flere og flere tillegg:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Jo flere vilkår som er lagt til summen, jo mer ligner resultatet e.

Matematikere utviklet en kompakt notasjon for disse summene som involverer mange uttrykk, ved å bruke summeringssymbolet Σ:

Dette uttrykket blir lest slik "summen fra n = 0 til uendelig 1 mellom n factorial".

Tallet e fra det geometriske synspunkt

Tallet e har en grafisk fremstilling relatert til området under kurvenes graf:

y = 1 / x

Når verdiene til x er mellom 1 og e, er dette området lik 1, som illustrert i følgende figur:

Figur 2. Grafisk fremstilling av tallet e: området under 1 / x-kurven, mellom x = 1 og x = e er verdt 1. Kilde: F. Zapata.

Egenskaper for tallet e

Noen av egenskapene til tallet e er:

-Det er irrasjonelt, det kan med andre ord ikke oppnås bare ved å dele to hele tall.

-Tallet e er også et transcendent tall, noe som betyr at e ikke er en løsning på noen polynomligning.

-Det er relatert til fire andre kjente tall innen matematikk, nemlig: π, i, 1 og 0, gjennom Euler-identiteten:

-De såkalte komplekse tallene kan uttrykkes gjennom e.

-Det utgjør basen til de naturlige eller naturlige logaritmer i samtiden (den opprinnelige definisjonen av John Napier skiller seg litt ut).

-Det er det eneste tallet slik at den naturlige logaritmen er lik 1, det vil si:

applikasjoner

Statistikk

Tallet e vises veldig ofte i feltet med sannsynlighet og statistikk, og vises i forskjellige distribusjoner, for eksempel normal eller Gaussian, Poisson og andre.

Ingeniør

I prosjektering er det hyppig, siden eksponentiell funksjon y = e ^x er til stede i f.eks. Mekanikk og elektromagnetisme. Blant de mange applikasjonene vi kan nevne:

-En kabel eller kjede som henger fast i endene, vedtar formen på kurven gitt av:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-En opprinnelig utladet kondensator C, som er seriekoblet til en motstand R og en spenningskilde V for å lade, får en viss ladning Q som en funksjon av tiden t gitt av:

Q (t) = CV (1-e- ^{t / RC} )

biologi

Den eksponentielle funksjonen y = Ae ^Bx , med A og B konstant, brukes til å modellere cellevekst og bakterievekst.

Fysisk

I kjernefysikk modelleres radioaktivt forfall og aldersbestemmelse etter radiokarbon-datering.

Økonomi

Ved beregning av sammensatt rente oppstår tallet e naturlig.

Anta at du har et visst beløp P _o å investere til en rente på i% per år.

Hvis du lar pengene være i ett år, vil du etter den tiden ha:

Etter nok et år uten å berøre det, vil du ha:

Og fortsetter på denne måten i n år:

La oss nå huske en av definisjonene av e:

Det ligner litt på uttrykket for P, så det må være et forhold.

Vi kommer til å fordele den nominelle renten i i n perioder, på denne måten vil den sammensatte renten være i / n:

Dette uttrykket ligner litt mer på grensen vår, men det er fremdeles ikke helt det samme.

Etter noen algebraiske manipulasjoner kan det imidlertid vises at ved å gjøre denne endringen av variabelen:

Våre penger P blir:

Og det som er mellom bukseselen, selv om det er skrevet med bokstaven h, er lik argumentet for grensen som definerer tallet e, mangler bare grensen.

La oss lage h → ∞, og det som er mellom seler blir tallet e. Dette betyr ikke at vi må vente uendelig lenge med å ta ut pengene våre.

Hvis vi ser nøye på, ved å lage h = n / i og tendens til ∞, er det vi faktisk har gjort å spre renten over veldig, veldig små tidsperioder:

i = n / h

Dette kalles kontinuerlig sammensetting. I et slikt tilfelle beregnes pengebeløpet enkelt slik:

Hvor jeg er den årlige renten. For eksempel når du setter inn € 12 til 9% per år, gjennom kontinuerlig kapitalisering, etter ett år har du:

Med et overskudd på € 1,13.

referanser

1. Kos deg med matte. Sammensatt interesse: Periodisk sammensetning. Gjenopprettet fra: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematikk 1. Diversifisert. CO-BO-utgaver.
3. García, M. Antallet e i elementær beregning. Gjenopprettet fra: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Beregning av en variabel. Niende. Edition. McGraw Hill.