KOMPLEKSE TALL: EGENSKAPER, EKSEMPLER, OPERASJONER - MATTE - 2026

De komplekse tallene er det numeriske settet som dekker reelle tall og alle røttene til polynomene inkludert parrøtter med negative tall. Disse røttene eksisterer ikke i settet med reelle tall, men i komplekse tall er det løsningen.

Et sammensatt antall består av en reell del og en del som kalles "imaginær". Den virkelige delen kalles for eksempel en den imaginære delen ib, med a og b reelle tall og "i" som den imaginære enheten. På denne måten har det komplekse tallet formen:

Figur 1.- Binomial representasjon av et sammensatt antall når det gjelder reell del og imaginær del. Kilde: Pixabay.

Eksempler på komplekse tall er 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Men før du arbeider med dem, la oss se hvor den imaginære enheten jeg stammer fra, med tanke på denne kvadratiske ligningen:

x ² - 10x + 34 = 0

I hvilke a = 1, b = -10 og c = 34.

Når vi bruker løsningsformelen for å bestemme løsningen, finner vi følgende:

Hvordan bestemme verdien av √-36? Det er ingen reelle tall som kvadratet produserer en negativ mengde. Så konkluderes det med at denne ligningen ikke har reelle løsninger.

Vi kan imidlertid skrive dette:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Hvis vi definerer en viss verdi x slik at:

x ² = -1

Så:

x = ± √-1

Og likningen ovenfor ville ha en løsning. Derfor ble den imaginære enheten definert som:

i = √-1

Og så:

√-36 = 6i

Mange matematikere fra antikken arbeidet med å løse lignende problemer, særlig Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) og Raffaele Bombelli (1526-1572).

År senere kalte René Descartes (1596-1650) mengdene "imaginære" som √-36 i eksemplet. Av denne grunn er √-1 kjent som den imaginære enheten.

Egenskaper med komplekse tall

-Settet med komplekse tall er betegnet som C og inkluderer de reelle tallene R og de imaginære tallene Im. Talesettene er representert i et Venn-diagram, som vist i følgende figur:

Figur 2. Venn-diagram over tallsett. Kilde: F. Zapata.

-Alt komplekst antall består av en reell del og en tenkt del.

-Når den imaginære delen av et komplekst tall er 0, er det et rent reelt tall.

-Hvis den virkelige delen av et komplekst tall er 0, så er tallet rent imaginært.

-To komplekse tall er like hvis deres respektive virkelige del og imaginære del er like.

-Med komplekse tall blir de kjente operasjoner for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, produkt og forbedring utført, noe som resulterer i et annet komplekst tall.

Representasjon av komplekse tall

Komplekse tall kan være representert på forskjellige måter. Her er de viktigste:

- Binomial form

Det er den formen som er gitt i begynnelsen, der z er det komplekse tallet, a er den virkelige delen, b er den imaginære delen og i er den imaginære enheten:

Eller også:

En måte å tegne det komplekse tallet på er gjennom det komplekse planet som er vist i denne figuren. Den imaginære aksen Im er vertikal, mens den virkelige aksen er horisontal og betegnes som Re.

Komplekset z er representert i dette planet som et punkt på koordinater (x, y) eller (a, b), slik det gjøres med punktene til det virkelige planet.

Avstanden fra opprinnelsen til punktet z er modulet til det komplekse tallet, betegnet som r, mens φ er vinkelen som r lager med den virkelige aksen.

Figur 3. Representasjon av et komplekst tall i det komplekse planet. Kilde: Wikimedia Commons.

Denne representasjonen er nært knyttet til den av vektorer i det virkelige planet. Verdien på r tilsvarer modulen til det komplekse tallet.

- Polar form

Den polare formen består i å uttrykke det komplekse tallet ved å gi verdiene til r og av φ. Hvis vi ser på figuren, tilsvarer verdien av r hypotenusen til en høyre trekant. Bena er verdt a og b, eller x og y.

Fra binomial eller binomial form kan vi gå til polar form ved å:

Vinkelen φ er den som dannes av segmentet r med den horisontale aksen eller den imaginære aksen. Det er kjent som det komplekse tallargumentet. På denne måten:

Argumentet har uendelige verdier, idet man tar i betraktning at hver gang en sving dreies, som er verdt 2π radianer, inntar r samme posisjon igjen. På denne generelle måten blir argumentet til z, betegnet Arg (z), uttrykt slik:

Hvor k er et helt tall og brukes til å indikere antall dreide svinger: 2, 3, 4…. Skiltet indikerer rotasjonsretningen, hvis det er medurs eller mot klokken.

Figur 4. Polar representasjon av et komplekst tall i det komplekse planet. Kilde: Wikimedia Commons.

Og hvis vi vil gå fra polarform til binomform, bruker vi de trigonometriske forhold. Fra forrige figur kan vi se at:

x = r cos φ

y = r synd φ

På denne måten z = r (cos φ + i sin φ)

Som er forkortet slik:

z = r cis φ

Eksempler på komplekse tall

Følgende komplekse tall er gitt i binomial form:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Og disse i form av et bestilt par:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Endelig er denne gruppen gitt i polar eller trigonometrisk form:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Hva er de for?

Nytten av komplekse tall går utover å løse den kvadratiske ligningen vist i begynnelsen, siden de er viktige innen ingeniørfag og fysikk, spesielt innen:

-Studiet av elektromagnetiske bølger

-Analyse av vekselstrøm og spenning

-Modelleringen av alle slags signaler

-Relativitetsteorien, der tiden antas som en tenkt størrelse.

Kompleks antall operasjoner

Med komplekse tall kan vi utføre alle operasjoner som gjøres med ekte. Noen er lettere å gjøre hvis tallene kommer i binomial form, for eksempel addisjon og subtraksjon. I kontrast er multiplikasjon og inndeling enklere hvis de utføres med polarformen.

La oss se noen eksempler:

- Eksempel 1

Legg til z ₁ = 2 + 5i og z ₂ = -3 -8i

Løsning

De virkelige delene legges separat fra de imaginære delene:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Eksempel 2

Multipliser z ₁ = 4 cis 45º og z ₂ = 5 cis 120º

Løsning

Det kan vises at produktet av to komplekse tall i polar eller trigonometrisk form er gitt ved:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

I følge dette:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

applikasjon

En enkel anvendelse av komplekse tall er å finne alle røttene til en polynomligning som den som ble vist i begynnelsen av artikkelen.

Når det gjelder ligningen x ² - 10x + 34 = 0, bruker du oppløsningsformelen vi får:

Derfor er løsningene:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

referanser

1. Earl, R. Komplekse tall. Gjenopprettet fra: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematikk 1. Diversifisert. CO-BO-utgaver.
3. Hoffmann, J. 2005. Valg av matematikkemner. Monfort Publikasjoner.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Komplekse tall. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org