HELE TALL: EGENSKAPER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2026

De heltall er et sett med nyttige tall for å telle objekter komplett haves og har ikke. Også å telle de som er på den ene siden og på den andre siden av et bestemt referansested.

Også med hele tall kan du utføre subtraksjon eller forskjell mellom et tall og et annet som er større enn det, og resultatet blir for eksempel avgjort. Skillet mellom inntjening og gjeld gjøres med henholdsvis + og - tegn.

Figur 1. Tallinjen for hele tall. Kilde: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Derfor inkluderer settet med hele tall følgende:

-Positive heltall, som er skrevet foran med et + -tegn, eller ganske enkelt uten tegnet, siden det også er forstått at de er positive. For eksempel: +1, +2, + 3 … og så videre.

-0, der tegnet ikke er relevant, siden det ikke betyr noe å legge det til for å trekke det fra noe antall. Men 0 er veldig viktig, siden det er referansen for heltalene: på den ene siden er positive og på den andre negativene, slik vi ser i figur 1.

-Negative heltall, som alltid bør skrives forut for tegnet - siden de skiller mellom beløp som gjeld og alle de som er på den andre siden av referansen. Eksempler på negative heltall er: -1, -2, -3 … og deretter.

Hvordan er heltall representert?

I begynnelsen representerer vi hele tallene med den angitte notasjonen: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4 …}, det vil si lister og organisert. Men en veldig nyttig representasjon er den som brukes av tallinjen. Dette krever tegning av en linje, som generelt er horisontal, hvor 0 er merket og delt inn i identiske seksjoner:

Figur 2. Representasjon av hele tall på tallinjen. Fra 0 til høyre er de positive heltallene og fra 0 til venstre de negative. Kilde: F. Zapata.

Negativene går til venstre for 0 og positive går til høyre. Pilene på tallinjen symboliserer at tallene går videre til uendelig. Gitt et helt tall, er det alltid mulig å finne et som er større eller et annet som er mindre.

Den absolutte verdien av et heltall

Den absolutte verdien til et helt tall er avstanden mellom tallet og 0. Og avstandene er alltid positive. Derfor er den absolutte verdien av det negative heltallet tallet uten minustegnet.

For eksempel er den absolutte verdien av -5. Den absolutte verdien er angitt med søyler, som følger:

- 5- = 5

For å visualisere det, teller du bare mellomrommene på tallinjen, fra -5 til 0. Mens den absolutte verdien til et positivt heltall er det samme tallet, for eksempel - + 3- = 3, siden avstanden fra 0 er med 3 mellomrom:

Figur 3. Den absolutte verdien av et helt tall er alltid en positiv mengde. Kilde: F. Zapata.

Egenskaper

-Settet med heltall er betegnet som Z og inkluderer settet med naturlige tall N, der elementene er uendelige.

-Et helt tall og det som følger (eller det som går foran det) er alltid differensiert i enhet. For eksempel, etter 5 kommer 6, hvor 1 er forskjellen mellom dem.

-Hvert heltall har en forgjenger og en etterfølger.

-Hvert positivt heltall er større enn 0.

-Et negativt heltall er alltid mindre enn 0 og et hvilket som helst positivt tall. Ta for eksempel tallet -100, dette er mindre enn 2, 10 og 50. Men det er også mindre enn -10, -20 og -99 og er større enn -200.

-0 har ikke tegnhensyn, siden det verken er negativt eller positivt.

-Med hele tall kan du utføre de samme operasjonene som gjøres med naturlige tall, nemlig: tillegg, subtraksjon, multiplikasjon, forbedring og mer.

-Heltallet motsatt et bestemt heltall x, er –x og summen av et helt tall med det motsatte er 0:

x + (-x) = 0.

Operasjoner med heltall

- Sum

-Hvis tallene som skal legges til har det samme tegnet, legges deres absolutte verdier til og resultatet plasseres med tegnet som tilleggene har. Her er noen eksempler:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Hvis tallene har et annet tegn, trekkes de absolutte verdiene (det høyeste fra det laveste) og resultatet plasseres med tegnet på tallet med den høyeste absolutte verdien, som følger:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Egenskaper for summen av heltal

-Summen er kommutativ, derfor endrer ikke rekkefølgen på summen. La a og b være to heltall, det er sant at a + b = b + a

-0 er det nøytrale elementet i summen av heltall: a + 0 = a

-Hvert heltall som er lagt til det motsatte er 0. Det motsatte av + a er –a, og omvendt er det motsatte av –a + a. Derfor: (+ a) + (-a) = 0.

Figur 2. Tegnregel for tillegg av hele tall. Kilde: Wikimedia Commons.

- Subtraksjon

For å trekke fra hele tall, må man ledes av denne regelen: subtraksjon tilsvarer tilføyelsen av et tall med det motsatte. La a og b være to tall, da:

a - b = a + (-b)

Anta for eksempel at du trenger å gjøre følgende: (-3) - (+7), deretter:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Multiplikasjon

Multiplikasjon av hele tall følger visse regler for tegn:

-Produktet av to tall med samme tegn er alltid positivt.

-Når to tall med forskjellige tegn multipliseres, er resultatet alltid negativt.

- Verdien på produktet er lik å multiplisere de respektive absolutte verdiene.

Umiddelbart noen eksempler som tydeliggjør ovennevnte:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Egenskaper ved multiplikasjon av heltall

-Multiplikasjon er kommutativ. La a og b være to heltall, det er sant at: ab = ba, som også kan uttrykkes som:

-Det nøytrale elementet i multiplikasjonen er 1. La a være et helt tall, derfor a.1 = 1

-Hvert heltall multiplisert med 0 er lik 0: a.0 = 0

Distribusjonsegenskapen

Multiplikasjon samsvarer med distribusjonsegenskapen med hensyn til tillegg. Hvis a, b og c er hele tall, så:

a. (b + c) = ab + ac

Her er et eksempel på hvordan du bruker denne egenskapen:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Myndiggjøring

-Hvis basen er positiv, er resultatet av operasjonen alltid positivt.

-Når eksponenten er jevn, er basen negativ. Resultatet er positivt. og hvis eksponenten er merkelig, er resultatet negativt.

- Divisjon

De samme skiltreglene gjelder i divisjon som i multiplikasjon:

-Når du deler to hele tall med samme tegn, er resultatet alltid positivt.

-Når to heltall med forskjellige tegn er delt, er kvotienten negativ.

For eksempel:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Viktig : inndeling er ikke kommutativ, med andre ord a ÷ b ≠ b ÷ a, og som alltid er ikke divisjon med 0 tillatt.

- Myndiggjøring

La a være et helt tall, og vi vil heve det til en eksponent n, da må vi multiplisere a med seg selv n ganger, som vist nedenfor:

a ⁿ = aaaa… ..a

Tenk også på følgende, og ta i betraktning at n er et naturlig tall:

-Hvis a er negativ og n er jevn, er resultatet positivt.

-Når a er negativt og n er merkelig, resulterer det i et negativt tall.

-Hvis a er positiv og n er jevn eller merkelig, resulterer alltid et positivt heltall.

-Hvert heltall hevet til 0 er lik 1: a ⁰ = 1

-Hvert nummer hevet til 1 tilsvarer tallet: a ¹ = a

La oss for eksempel si at vi ønsker å finne (–3) ⁴ , for å gjøre det multipliserer vi (-3) fire ganger av seg selv, slik: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Et annet eksempel, også med et negativt heltall, er:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Produkt av krefter med lik base

Anta to krefter med lik base, hvis vi multipliserer dem, får vi en annen makt med samme base, hvis eksponent er summen av de gitte eksponentene:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Lik base krefter kvotient

Når du deler krefter med lik base, er resultatet en makt med samme base, hvis eksponent er subtraksjonen til de gitte eksponentene:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Her er to eksempler som tydeliggjør disse punktene:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

eksempler

La oss se enkle eksempler for å anvende disse reglene, og husk at i tilfelle av positive heltall kan skiltet avstå fra:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Løste øvelser

- Oppgave 1

En maur beveger seg langs tallinjen i figur 1. Fra punktet x = +3 gjør den følgende bevegelser:

-Flytter 7 enheter til høyre

-Nå returnerer du 5 enheter til venstre

-Flott tre enheter til venstre.

-Han går tilbake og flytter 4 enheter til høyre.

På hvilket tidspunkt er myra på slutten av turen?

Løsning

La oss kalle forskyvningene D. Når de er til høyre får de et positivt tegn og når de er til venstre et negativt tegn. På denne måten, og med utgangspunkt i x = +3 har vi:

-Første D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Andre D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Tre D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Rom D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Når myra er ferdig med å gå er den i posisjonen x = +6. Det vil si at det er 6 enheter til høyre for 0 på tallinjen.

- Oppgave 2

Løs følgende operasjon:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Løsning

Denne operasjonen inneholder grupperingstegn, som er parenteser, firkantede parenteser og seler. Når du løser, må du først ta vare på parentesene, deretter parentesene og til slutt selene. Med andre ord, du må jobbe innenfra og ut.

I denne øvelsen representerer poenget en multiplikasjon, men hvis det ikke er noe poeng mellom et tall og en parentes eller et annet symbol, forstås det også å være et produkt.

Under oppløsningen trinn for trinn fungerer fargene som en guide til å følge resultatet av å redusere parentesene, som er de innerste grupperingssymbolene:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Oppgave 3

Løs førstegradsligningen:

12 + x = 30 + 3x

Løsning

Begrepene er gruppert med det ukjente til venstre for likheten, og de numeriske begrepene til høyre:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

referanser

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. National University of the Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematikk i 7. klasse. CO-BO-utgaver.
3. Hoffmann, J. 2005. Valg av matematikkemner. Monfort Publikasjoner.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Hele tallene. Gjenopprettet fra: Cimanet.uoc.edu.