FANTASIØSE TALL: EGENSKAPER, APPLIKASJONER, EKSEMPLER - MATTE - 2024

De imaginære tallene er de som løser ligningen der det ukjente, hevet til torget er lik et negativt reelt tall. Den imaginære enheten er i = √ (-1).

I ligningen: z ² = - a, z er et tenkt antall som uttrykkes som følger:

z = √ (-a) = i√ (a)

Å være et positivt reelt tall. Hvis a = 1, så er z = i, der jeg er den imaginære enheten.

Figur 1. Komplekse plan som viser noen reelle tall, noen imaginære tall og noen komplekse tall. Kilde: F. Zapata.

Generelt kommer et rent tenkt tall z alltid til uttrykk i formen:

z = y⋅i

Hvor y er et reelt tall og i er den tenkelige enheten.

Akkurat som reelle tall er representert på en linje, kalt den virkelige linjen, på lignende måte er imaginære tall representert på den imaginære linjen.

Den imaginære linjen er alltid ortogonal (90 º form) til den virkelige linjen, og de to linjene definerer et kartesisk plan kalt det komplekse planet.

I figur 1 er det komplekse planet vist, og på det er reelle tall, noen imaginære tall og også noen komplekse tall representert:

X ₁ , X ₂ , X ₃ er reelle tall

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ er imaginære tall

Z ₂ og Z ₃ er sammensatte tall

Tallet O er den virkelige null, og det er også den imaginære null, så opprinnelsen O er den komplekse null uttrykt ved:

0 + 0i

Egenskaper

Settet med imaginære tall er betegnet med:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

Og du kan definere noen operasjoner på dette numeriske settet. Et innbilt nummer oppnås ikke alltid fra disse operasjonene, så la oss se på dem litt mer detaljert:

Legg til og trekk fra imaginære

Fantasiøse tall kan legges til og trekkes fra hverandre, noe som resulterer i et nytt imaginært nummer. For eksempel:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produkt av imaginære

Når produktet av ett tenkt nummer med et annet lages, er resultatet et reelt tall. La oss gjøre følgende for å sjekke det:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Og som vi kan se, -6 er et reelt tall, selv om det er oppnådd ved å multiplisere to rene imaginære tall.

Produkt av et reelt tall av en annen innbilt

Hvis et reelt tall multipliseres med i, vil resultatet være et tenkt tall, som tilsvarer en 90-graders rotasjon mot klokken.

Og det er at i ² tilsvarer to påfølgende rotasjoner på 90 grader, noe som tilsvarer å multiplisere med -1, det vil si i ² = -1. Det kan sees i følgende diagram:

Figur 2. Multiplikasjonen med den imaginære enheten i tilsvarer 90 ° rotasjon mot klokken. Kilde: wikimedia commons.

For eksempel:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Empowerment of an imaginær

Du kan definere potensiering av et imaginært tall til en heltaleksponent:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Generelt har vi at i ⁿ = i ^ (n mod 4), der mod er resten av delingen mellom n og 4.

Negativ heltal-potensiering kan også gjøres:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Generelt er det tenkte tallet b⋅i hevet til kraften n:

(bi) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Noen eksempler er følgende:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Summen av et reelt tall og et tenkt tall

Når du legger til et reelt tall med et innbilt nummer, er resultatet verken ekte eller innbilt, det er en ny type tall som kalles et sammensatt tall.

For eksempel, hvis X = 3,5 og Y = 3,75i, er resultatet det komplekse tallet:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Legg merke til at i summen kan ikke de virkelige og imaginære delene grupperes, så et sammensatt antall vil alltid ha en reell del og en tenkt del.

Denne operasjonen utvider settet med reelle tall til det bredeste av komplekse tall.

applikasjoner

Navnet på imaginære tall ble foreslått av den franske matematikeren René Descartes (1596-1650) som hån eller uenighet med forslaget til det samme som ble gjort av den italienske matematikeren fra århundret Raffaelle Bombelli.

Andre store matematikere, som Euler og Leibniz, støttet Descartes i denne uenigheten og kalte imaginære tall amfibiske tall, som ble revet mellom å være og ingenting.

Navnet på imaginære tall forblir i dag, men deres eksistens og betydning er veldig reell og håndgripelig, siden de forekommer naturlig i mange fysiske felt som:

-Relativitetsteorien.

-I elektromagnetisme.

-Kvantemekanikk.

Øvelser med imaginære tall

- Oppgave 1

Finn løsningene for følgende ligning:

z ² + 16 = 0

Løsning

z ² = -16

Vi tar firkantet rot i begge medlemmene vi har:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Løsningene til den opprinnelige ligningen er med andre ord:

z = + 4i oz = -4i.

- Oppgave 2

Finn resultatet av å heve den imaginære enheten til kraften 5 minus subtraksjonen til den imaginære enheten hevet til kraften -5.

Løsning

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Oppgave 3

Finn resultatet av følgende operasjon:

(3i) ³ + 9i

Løsning

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Oppgave 4

Finn løsningene for følgende kvadratiske ligning:

(-2x) ² + 2 = 0

Løsning

Ligningen er omorganisert som følger:

(-2x) ² = -2

Deretter tas kvadratroten til begge medlemmene

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Så løser vi for x for endelig å få:

x = ± √2 / 2 i

Det vil si at det er to mulige løsninger:

x = (√2 / 2) i

Eller denne andre:

x = - (√2 / 2) i

- Oppgave 5

Finn verdien av Z definert av:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Løsning

Vi vet at kvadratroten til et negativt reelt tall er et tenkt tall, for eksempel √ (-9) er lik √ (9) x √ (-1) = 3i.

På den annen side er √ (-4) lik √ (4) x √ (-1) = 2i.

Så den opprinnelige ligningen kan erstattes av:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Oppgave 6

Finn verdien av Z som følger av følgende inndeling av to komplekse tall:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Løsning

Telleren til uttrykket kan produseres ved hjelp av følgende egenskap:

Så:

Z = / (3 + i)

Det resulterende uttrykket er forenklet nedenfor og forlater

Z = (3 - i)

referanser

1. Earl, R. Komplekse tall. Gjenopprettet fra: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematikk 1. Diversifisert. CO-BO-utgaver.
3. Hoffmann, J. 2005. Valg av matematikkemner. Monfort Publikasjoner.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Fantastisk nummer. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org