RASJONELLE TALL: EGENSKAPER, EKSEMPLER OG OPERASJONER - MATTE - 2026

De rasjonelle tallene er alle tall kan fås som inndeling av to heltall. Eksempler på rasjonelle tall er: 3/4, 8/5, -16/3 og de som vises i følgende figur. I et rasjonelt antall blir kvoten indikert, og det er mulig å gjøre det senere hvis nødvendig.

Figuren representerer ethvert objekt, rundt for større komfort. Hvis vi ønsker å dele den i 2 like deler, som til høyre, har vi to halvdeler igjen og hver og en er verdt 1/2.

Figur 1. Rasjonelle tall brukes til å dele opp helheten i flere deler. Kilde: Freesvg.

Ved å dele den i 4 like store deler, vil vi få 4 stykker og hver og en er verdt 1/4, som på bildet i midten. Og hvis den må deles i 6 like deler, vil hver del være verdt 1/6, som vi ser på bildet til venstre.

Selvfølgelig kunne vi også dele den i to ulik deler, for eksempel kunne vi beholde 3/4 deler og spare 1/4 del. Andre divisjoner er også mulig, for eksempel 4/6 deler og 2/6 deler. Det viktige er at summen av alle delene er 1.

På denne måten er det tydelig at du med rasjonelle tall kan dele, telle og fordele ting som mat, penger, land og alle slags gjenstander i brøk. Og dermed utvides antall operasjoner som kan utføres med tall.

Rasjonelle tall kan også uttrykkes i desimalform, som det kan sees i følgende eksempler:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

Senere vil vi indikere hvordan vi kan gå fra en form til en annen med eksempler.

Egenskaper for rasjonelle tall

Rasjonelle tall, hvis sett vi vil betegne med bokstaven Q, har følgende egenskaper:

-Q inkluderer naturlige tall N og heltall Z.

Når man tar i betraktning at et hvilket som helst tall a kan uttrykkes som kvoten mellom seg selv og 1, er det lett å se at blant de rasjonelle tallene er det også naturlige tall og heltall.

Dermed kan det naturlige tallet 3 skrives som en brøk, og også -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

På denne måten er Q et numerisk sett som inkluderer et større antall tall, noe veldig nødvendig, siden de "runde" tallene ikke er nok til å beskrive alle mulige operasjoner du kan gjøre.

-Rasjonelle tall kan legges til, trekkes fra, multipliseres og deles, resultatet av operasjonen er et rasjonelt tall: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Mellom hvert par rasjonelle tall, kan det alltid finnes et annet rasjonelt tall. Faktisk mellom to rasjonelle tall er det uendelige rasjonelle tall.

For eksempel mellom begrunnelsene 1/4 og 1/2 er begrunnelsene 3/10, 7/20, 2/5 (og mange flere), som kan bekreftes ved å uttrykke dem som desimaler.

-Hvert rasjonelt antall kan uttrykkes som: i) et helt tall eller ii) en begrenset (streng) eller periodisk desimal: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0.16666666 ……

-Et samme antall kan være representert med uendelige ekvivalente fraksjoner, og alle tilhører Q. La oss se denne gruppen:

De representerer alle desimalene 0.428571 …

- Av alle de ekvivalente brøkene som representerer det samme tallet, er den irredusible brøkdel, den enkleste av alle, den kanoniske representanten for dette tallet. Den kanoniske representanten for eksemplet over er 3/7.

Figur 2.- Sett Q for rasjonelle tall. Kilde: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Eksempler på rasjonelle tall

-Riktig brøk, de som telleren er mindre enn nevneren:

-Feilige brøker, hvis teller er større enn nevneren:

-Naturlige tall og hele tall:

-Ekvivalente brøk:

Desimal representasjon av et rasjonelt antall

Når telleren er delt med nevneren, blir desimalformen til det rasjonelle tallet funnet. For eksempel:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0.11111…

6/11 = 0.545454…

I de to første eksemplene er antall desimaler begrenset. Dette betyr at når delingen er ferdig, oppnås endelig en rest på 0.

På den annen side, i de neste to er antallet desimaler uendelig, og det er grunnen til at ellipsen er plassert. I sistnevnte tilfelle er det et mønster i desimalene. Når det gjelder brøkdelen 1/9, gjentas tallet 1 på ubestemt tid, mens det i 6/11 er 54.

Når dette skjer, sies desimalen å være periodisk og betegnes av en vakt som dette:

Transformer en desimal til en brøk

Hvis det er en begrenset desimal, fjernes komma ganske enkelt og nevneren blir enheten etterfulgt av så mange nuller som det er tall i desimalen. For å omdanne desimalen 1,26 til en brøk, skriver du den slik:

1,26 = 126/100

Da blir den resulterende brøk forenklet til det maksimale:

126/100 = 63/50

Hvis desimalen er ubegrenset, identifiseres perioden først. Deretter følges disse trinnene for å finne den resulterende brøk:

-Telleren er subtraksjonen mellom nummeret (uten komma eller snakkesett) og delen som ikke har stikkordet.

-Nevneren er et heltall med så mange 9 som det er tall under circumflex, og så mange 0 som det er tall for desimaldelen som ikke er under circumflex.

La oss følge denne prosedyren for å transformere desimaltallet 0.428428428 … til en brøkdel.

-Først identifiseres perioden, som er sekvensen som gjentas: 428.

-Deretter gjøres operasjonen med å trekke fra tallet uten komma eller aksent: 0428 fra delen som ikke har en circumflex, som er 0. Det er altså 428 - 0 = 428.

-Nevneren er konstruert, vel vitende om at under circumflex er det 3 figurer og alle er under circumflex. Derfor er nevneren 999.

Endelig blir brøkdelen dannet og forenklet om mulig:

0,428 = 428/999

Det er ikke mulig å forenkle mer.

Operasjoner med rasjonelle tall

- Legg til og trekk fra

Fraksjoner med samme nevner

Når brøkdelene har samme nevner, er det veldig enkelt å legge til og / eller trekke fra dem, fordi tellerne ganske enkelt legges algebraisk, og etterlater det samme som tilleggene som nevner resultatet. Til slutt, hvis mulig, er det forenklet.

Eksempel

Gjennomfør følgende algebraiske tillegg og forenkler resultatet:

Den resulterende fraksjonen er allerede irreducible.

Fraksjoner med forskjellige nevnere

I dette tilfellet erstattes tilleggene med ekvivalente brøk med samme nevner, og deretter følges prosedyren som allerede er beskrevet.

Eksempel

Legg til algebraisk følgende rasjonelle tall, forenkler resultatet:

Trinnene er:

-Bestem det minst vanlige multiplum (lcm) av nevnerne 5, 8 og 3:

lcm (5,8,3) = 120

Dette vil være nevner av den resulterende brøkdel uten å forenkle.

-For hver brøk: del LCM med nevneren og multipliser med telleren. Resultatet av denne operasjonen blir plassert, med dets respektive tegn, i telleren for brøkdelen. På denne måten oppnås en brøkdel som tilsvarer originalen, men med LCM som nevner.

For første brøk er telleren konstruert slik: (120/5) x 4 = 96, og vi får:

Fortsett på samme måte for de gjenværende brøkene:

Til slutt erstattes de ekvivalente brøkene uten å glemme tegnet og den algebraiske summen av tellerne blir utført:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Multiplikasjon og inndeling

Multiplikasjon og inndeling utføres etter reglene vist nedenfor:

Figur 3. Regler for å multiplisere og dele rasjonelle tall. Kilde: F. Zapata.

Uansett er det viktig å huske at multiplikasjon er kommutativ, noe som betyr at rekkefølgen på faktorene ikke endrer produktet. Dette skjer ikke med inndeling, så man må passe på å respektere rekkefølgen mellom utbytte og deler.

Eksempel 1

Gjennomfør følgende operasjoner og forenkler resultatet:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Svar til

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Svar b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Eksempel 2

Luisa hadde 45 dollar. Han brukte en tidel av det på å kjøpe en bok og 2/5 av det som var igjen på en t-skjorte. Hvor mye penger har Luisa igjen? Uttrykk resultatet som en irreducerbar brøk.

Løsning

Boken koster (1/10) x $ 45 = 0,1 x $ 45 = $ 4,5

Derfor satt Luisa igjen med:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Med de pengene gikk Luisa til klesbutikken og kjøpte skjorten, hvis pris er:

(2/5) x $ 40,5 = $ 16,2

Nå har Luisa i sin portefølje:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

For å uttrykke det som en brøkdel skrives det slik:

24,3 = 243/10

Det er irreducible.

referanser

1. Baldor, A. 1986. Aritmetikk. Utgaver og distribusjoner Codex.
2. Carena, M. 2019. Manual of Mathematics. National University of the Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Matematikk 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. De rasjonelle tallene. Gjenopprettet fra: Cimanet.uoc.edu.
6. Rasjonelle tall. Gjenopprettet fra: webdelprofesor.ula.ve.