REELLE TALL: HISTORIE, EKSEMPLER, EGENSKAPER, OPERASJONER - MATTE - 2026

De reelle tallene utgjør det numeriske settet som inkluderer de naturlige tallene, heltalene, det rasjonelle og det irrasjonelle. De er betegnet med symbolet ℝ eller ganske enkelt R, og omfanget i naturvitenskap, ingeniørfag og økonomi er slik at når man snakker om “tall”, blir det nesten tatt for gitt at det er et reelt tall.

Reelle tall har blitt brukt siden antikken, selv om de ikke fikk navnet. Fra den tiden Pythagoras utviklet sitt berømte teorem, dukket det opp tall som ikke kunne oppnås som kvoter på naturlige tall eller heltal.

Figur 1. Venn-diagram som viser hvordan settet med reelle tall inneholder de andre tallsettene. Kilde> Wikimedia Commons.

Eksempler på tall er √2, √3 og π. Disse tallene kalles irrasjonelle, i motsetning til rasjonelle tall, som kommer fra kvoter med hele tall. Det var derfor nødvendig et numerisk sett som omfatter både antall klasser.

Begrepet "reelt antall" ble opprettet av den store matematikeren René Descartes (1596-1650), for å skille mellom de to typer røtter som kan oppstå ved å løse en polynomligning.

Noen av disse røttene kan til og med være røtter til negative tall, Descartes kalte disse "imaginære tall", og de som ikke var det, var reelle tall.

Valutakursen vedvarte over tid, og ga opphav til to store numeriske sett: de reelle tallene og de komplekse tallene, et større sett som inkluderer reelle tall, imaginære tall og de som er del reelle og deler imaginære.

Utviklingen av reelle tall fortsatte sin gang til i 1872, matematikeren Richard Dedekind (1831-1936) formelt definerte settet med reelle tall gjennom de såkalte Dedekind-kuttene. Syntesen av arbeidet hans ble publisert i en artikkel som så lyset samme år.

Eksempler på reelle tall

Tabellen nedenfor viser eksempler på reelle tall. Dette settet har som undergrupper de naturlige tallene, heltalene, de rasjonelle og de irrasjonelle. Ethvert antall av disse settene er i seg selv et reelt tall.

Derfor er 0, negative, positive, brøk og desimaler reelle tall.

Figur 2. Eksempler på reelle tall er naturlige, heltall, rasjonelle, irrasjonelle og transcendente. Kilde: F. Zapata.

Representasjon av reelle tall på den virkelige linjen

Reelle tall kan være representert på den virkelige linjen R , som vist på figuren. Det er ikke nødvendig at 0 alltid er til stede, men det er praktisk å vite at de negative realene er til venstre og de positive til høyre. Derfor er det et utmerket referansepunkt.

På den virkelige linjen blir det tatt en skala, der heltalene finnes: … 3, -2, -1, 1, 2, 3 …. Pilen indikerer at linjen strekker seg til uendelig. Men det er ikke alt, i et betraktet intervall, vil vi også alltid finne uendelige reelle tall.

De reelle tallene er representert i rekkefølge. Til å begynne med er det rekkefølgen på heltalene, der positive alltid er større enn 0, mens negativene er mindre.

Denne ordren holdes innenfor de reelle tallene. Følgende ulikheter vises som eksempel:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Figur 3.- Den virkelige linjen. Kilde: Wikimedia Commons.

Egenskapene til reelle tall

-Real tall inkluderer naturlige tall, heltall, rasjonelle tall og irrasjonelle tall.

-Den kommutative egenskapen til tillegg er oppfylt: rekkefølgen på tilleggene endrer ikke summen. Hvis a og b er to reelle tall, er det alltid sant at:

a + b = b + a

-0 er det nøytrale elementet i summen: a + 0 = a

-For summen blir den tilknyttede eiendommen oppfylt. Hvis a, b og c er reelle tall: (a + b) + c = a + (b + c).

Det motsatte av et reelt tall er -a.

-Trekkingen er definert som summen av det motsatte: a - b = a + (-b).

-Den kommutative egenskapen til produktet er oppfylt: rekkefølgen på faktorene endrer ikke produktet: ab = ba

-I produktet brukes den tilknyttede egenskapen også: (ab) .c = a. (Bc)

-Den 1 er det nøytrale elementet i multiplikasjonen: a.1 = a

-Den fordelende egenskapen til multiplikasjon er gyldig med hensyn til tillegg: a. (b + c) = ab + ac

-Divisjon med 0 er ikke definert.

-Hvert reelt tall a, bortsett fra 0, har en multiplikativ invers på ^-1 slik at aa ^-1 = 1.

-Hvis a er et reelt tall: a ⁰ = 1 og a ¹ = a.

-Den absolutte verdien eller modulen til et reelt tall er avstanden mellom nevnte tall og 0.

Operasjoner med reelle tall

Med de reelle tallene kan du utføre operasjonene som gjøres med de andre numeriske settene, inkludert tillegg, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, empowerment, radication, logarithms og mer.

Som alltid er ikke divisjonen 0 definert, og heller ikke logaritmene til negative tall eller 0, selv om det er sant at log 1 = 0 og at logaritmene til tall mellom 0 og 1 er negative.

applikasjoner

Bruken av reelle tall i alle slags situasjoner er ekstremt variert. Reelle tall vises som svar på mange problemer innen eksakt vitenskap, informatikk, ingeniørvitenskap, økonomi og samfunnsvitenskap.

Alle slags størrelser og mengder som avstander, tider, krefter, lydintensitet, penger og mange flere, har sitt uttrykk i reelle tall.

Overføringen av telefonsignaler, bildet og lyden til en video, temperaturen på et klimaanlegg, en varmeovn eller et kjøleskap kan styres digitalt, noe som betyr å omdanne fysiske mengder til numeriske sekvenser.

Det samme skjer når du foretar en banktransaksjon over Internett eller konsulterer direktemeldinger. De reelle tallene er overalt.

Trening løst

Vi skal se med øvelser hvordan disse tallene fungerer i vanlige situasjoner vi møter daglig.

Oppgave 1

Postkontoret godtar bare pakker som lengden, pluss omkretsmålingen, ikke overstiger 108 tommer. For at den viste pakken skal aksepteres, må det derfor oppfylles at:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Vil en pakke som er 6 tommer bred, 8 tommer høy og 5 fot lang, klare den gjennom?

b) Hva med en som måler 2 x 2 x 4 fot ³ ?

c) Hva er den høyeste akseptable høyden for en pakke hvis base er kvadratisk og måler 9 x 9 tommer ² ?

Svar til

L = 5 fot = 60 tommer

x = 6 tommer

y = 8 tommer

Operasjonen som skal løses er:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) tommer = 60 + 2 x 14 tommer = 60 + 28 tommer = 88 tommer

Pakken godtas.

Svar b

Dimensjonene til denne pakken er mindre enn pakken a), så begge deler den gjennom.

Svar c

I denne pakken:

x = L = 9 tommer

Det må observeres at:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

og ≤ 40,5 tommer

referanser

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. National University of the Litoral.
2. Diego, A. Realtall og deres egenskaper. Gjenopprettet fra: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematikk 9.. Grad. CO-BO-utgaver.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. Femte. Edition. Cengage Learning.