TRANSCENDENTE TALL: HVA ER DE, FORMLER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2026

De transcendentale tallene er de som ikke kan oppnås som et resultat av en polynomligning. Det motsatte av et transcendent tall er et algebraisk tall, som er løsninger for en polynomligning av typen:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Hvor koeffisientene a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a ₀ er rasjonelle tall, kalt koeffisientene til polynomet. Hvis et tall x er en løsning på forrige ligning, er ikke dette tallet transcendent.

Figur 1. To tall av stor betydning i vitenskapen er transcendente tall. Kilde: publicdomainpictures.net.

Vi vil analysere noen få tall og se om de er transcendente eller ikke:

a) 3 er ikke transcendent fordi det er en løsning av x - 3 = 0.

b) -2 kan ikke være transcendent fordi det er en løsning av x + 2 = 0.

c) ⅓ er en løsning av 3x - 1 = 0

d) En løsning av ligningen x ² - 2x + 1 = 0 er √2 -1, slik at tallet per definisjon ikke er transcendent.

e) Verken er √2 fordi det er resultatet av ligningen x ² - 2 = 0. Kvadrering √2 gir resultatet 2, som trekkes fra 2 tilsvarer null. Så √2 er et irrasjonelt tall, men det er ikke transcendent.

Hva er transcendente tall?

Problemet er at det ikke er noen generell regel å få tak i dem (vi vil si det en vei senere), men noen av de mest kjente er tallet pi og Neper-tallet, betegnet henholdsvis med: π og e.

Tallet π

Tallet π vises naturlig ved å observere at den matematiske kvotienten mellom omkretsen P av en sirkel og dens diameter D, uavhengig av om det er en liten eller stor sirkel, alltid gir det samme tallet, kalt pi:

π = P / D ≈ 3.14159 ……

Dette betyr at hvis diameteren på omkretsen tas som måleenhet, for alle av dem, store eller små, vil omkretsen alltid være P = 3,14… = π, som det kan sees i animasjonen i figur 2.

Figur 2. Lengden på omkretsen av en sirkel er pi ganger lengden på diameteren, med pi omtrent 3.1416.

For å bestemme flere desimaler er det nødvendig å måle P og D med større presisjon og deretter beregne kvotienten, som er gjort matematisk. Konklusjonen er at desimalene til kvotienten ikke har noen ende og aldri gjentar seg, så tallet π i tillegg til å være transcendent er også irrasjonelt.

Et irrasjonelt tall er et tall som ikke kan uttrykkes som inndelingen av to hele tall.

Det er kjent at alle transcendente tall er irrasjonelle, men det er ikke sant at alle irrasjonelle tall er transcendente. For eksempel er √2 irrasjonelt, men det er ikke transcendent.

Figur 3. De transcendente tallene er irrasjonelle, men samtalen er ikke sant.

Nummeret e

Det transcendente tallet e er basen til naturlige logaritmer, og dens desimale tilnærming er:

og ≈ 2.718281828459045235360….

Hvis man ønsket å skrive tallet e nøyaktig, ville det være nødvendig å skrive uendelige desimaler, fordi hvert transcendent tall er irrasjonelt, som sagt tidligere.

De første ti sifrene i e er enkle å huske:

2,7 1828 1828 og selv om det ser ut til å følge et repeterende mønster, oppnås dette ikke i desimaler av orden større enn ni.

En mer formell definisjon av e er som følger:

Dette betyr at den eksakte verdien av e oppnås ved å utføre operasjonen angitt i denne formelen, når det naturlige tallet n har en tendens til uendelig.

Dette forklarer hvorfor vi bare kan få tilnærminger av e, siden uansett hvor stort antall n er plassert, kan et større n alltid finnes.

La oss se på noen tilnærminger på egen hånd:

-Når n = 100 da (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481 som neppe sammenfaller i den første desimal med den "sanne" verdien til e.

-Hvis du velger n = 10.000, har du (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, som sammenfaller med den "eksakte" verdien av e på de tre første desimalene.

Denne prosessen må følges uendelig for å oppnå den "sanne" verdien av e. Jeg tror ikke vi har tid til å gjøre det, men la oss prøve en til:

La oss bruke n = 100 000:

(1 + 1 / 100.000) ^100.000 = 2.7182682372

Dette har bare fire desimaler som samsvarer med den nøyaktige verdien.

Det viktige er å forstå at jo høyere verdien til n som er valgt for å beregne e _n , desto nærmere vil den være den sanne verdien. Men den sanne verdien vil bare ha når n er uendelig.

Figur 4. Det er vist grafisk hvordan jo høyere verdi på n, desto nærmere e, men for å komme frem til den eksakte verdien n må være uendelig.

Andre viktige tall

Bortsett fra disse berømte tallene er det andre transcendente tall, for eksempel:

- 2 ^√2

-Champernowne-nummeret i base 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Champernowne-nummeret i base 2:

C_2 = 0.1101110010110111….

-Gammanummeret γ eller Euler-Mascheroni konstant:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Som oppnås ved å gjøre følgende beregning:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

For når n er veldig veldig stor. For å ha den nøyaktige verdien av Gamma-tallet, ville det være nødvendig å gjøre beregningen med n uendelig. Noe som ligner på det vi gjorde ovenfor.

Og det er mange flere transcendente tall. Den store matematikeren Georg Cantor, født i Russland og bodde mellom 1845 og 1918, viste at settet med transcendente tall er mye større enn det algebraiske settet.

Formler der det transcendente tallet π vises

Omkretsens omkrets

P = π D = 2 π R, der P er omkretsen, D diameteren, og R radius for omkretsen. Det må huskes at:

-Diameteren på omkretsen er det lengste segmentet som går sammen med to punkter av det samme og som alltid passerer gjennom sentrum,

-Radiusen er halvparten av diameteren og er segmentet som går fra sentrum til kanten.

Område av en sirkel

A = π R ² = ¼ π D ²

Overflaten til en sfære

S = 4 π R ^2.

Ja, selv om det kanskje ikke virker som det, er overflaten til en sfære den samme som for fire sirkler med samme radius som sfæren.

Volumet av sfæren

V = 4/3 π R ³

Øvelser

- Oppgave 1

"EXÓTICA" -pizzeriaet selger pizzaer med tre diametre: små 30 cm, mellom 37 cm og store 45 cm. En gutt er veldig sulten, og han forsto at to små pizza koster det samme som en stor. Hva vil være bedre for ham å kjøpe to små pizzaer eller en stor en?

Figur 5.- Arealet til en pizza er proporsjonalt med radiusens firkant, pi er proporsjonalitetskonstanten. Kilde: Pixabay.

Løsning

Jo større område, desto større mengde pizza, av denne grunn vil arealet til en stor pizza beregnes og sammenlignes med det til to små pizzaer:

Areal av den store pizzaen = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

Arealet til den lille pizzaen = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Derfor vil to små pizzaer ha et område på

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Det er klart: du vil ha flere pizzaer som kjøper en stor en enn to små.

- Oppgave 2

"EXÓTICA" -pizzeriaet selger også en halvkuleformet pizza med en radius på 30 cm for samme pris som en rektangulær en på 30 sider og 30 x 40 cm. Hvilken ville du valgt?

Figur 6.- Overflaten på en halvkule er dobbelt så sirkulær overflate på basen. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Som nevnt i forrige seksjon er overflaten til en sfære fire ganger den for en sirkel med samme diameter, så en halvkule med en diameter på 30 cm vil ha:

30 cm halvkuleformet pizza: 1413,72 cm ² (to ganger et sirkulær med samme diameter)

Rektangulær pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Den halvkuleformede pizzaen har et større område.

referanser

1. Fernández J. Nummeret e. Opprinnelse og nysgjerrigheter. Gjenopprettet fra: soymatematicas.com
2. Kos deg med matte. Eulers nummer. Gjenopprettet fra: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematikk 1. Diversifisert. CO-BO-utgaver.
4. García, M. Antallet e i elementær beregning. Gjenopprettet fra: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. PI-nummer. Gjenopprettet fra: wikipedia.com
6. Wikipedia. Transcendente tall. Gjenopprettet fra: wikipedia.com