Den innskrevne vinkelen til en sirkel er en som har toppunktet på sirkelen og dens stråler er festet eller tangent til den. Som en konsekvens vil den innskrevne vinkelen alltid være konveks eller flat.
I figur 1 er flere vinkler påskrevet i deres respektive omkretser representert. Vinkelen ∠EDF er innskrevet ved å ha sin toppunkt D på omkretsen og dens to stråler =.
I en isosceles trekant er vinklene ved siden av basen like, derfor er ∠BCO = ∠ABC = α. På den annen side ∠COB = 180º - β.
Med tanke på summen av de indre vinklene til trekanten COB, har vi:
α + α + (180º - β) = 180º
Fra hvilket følger at 2 α = β, eller hva som er ekvivalent: α = β / 2. Dette stemmer overens med hva teorem 1 sier: målet for den påskrevne vinkelen er halvparten av den sentrale vinkelen, hvis begge vinkler underfører samme akkord.
Demonstrasjon 1b
Figur 6. Hjelpekonstruksjon for å vise at α = β / 2. Kilde: F. Zapata med Geogebra.
I dette tilfellet har vi en innskrevet vinkel ∠ABC, der senterets O i sirkelen er innenfor vinkelen.
For å bevise setning 1 i dette tilfellet, tegner hjelpestrålen). Push ({});
Tilsvarende de sentrale vinklene p 1 og β 2 er tilstøtende til nevnte stråle. Dermed har vi den samme situasjon som vist 1a, så kan det sies at α 2 = β 2 /2 og a 1 = β 1 /2. Som α = α 1 + α 2 og β = β 1 + β 2 må derfor at α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / to.
Avslutningsvis er α = β / 2, som oppfyller teorem 1.
- Teorem 2
Figur 7. Innskrevne vinkler med samme mål α, fordi de underbygger samme bue A⌒C. Kilde: F. Zapata med Geogebra.
- Stilling 3
De innskrevne vinklene som subjekter akkorder med samme mål er like.
Figur 8. Innskrevne vinkler som subjekter akkorder med lik mål har like mål β. Kilde: F. Zapata med Geogebra.
eksempler
- Eksempel 1
Vis at den innskrevne vinkelen som subduserer diameteren er en rett vinkel.
Løsning
Den sentrale vinkelen ∠AOB assosiert med diameteren er en plan vinkel, hvis mål er 180º.
I følge setning 1 har hver vinkel som er innskrevet i omkretsen som subjekterer det samme akkordet (i dette tilfellet diameteren), som mål halvparten av den sentrale vinkelen som subjekterer den samme akkorden, som for eksempel er 180º / 2 = 90º.
Figur 9. Hver innskrevne vinkel som forsyner seg til diameteren er en rett vinkel. Kilde: F. Zapata med Geogebra.
- Eksempel 2
Linjen (BC) tangens ved A til omkretsen C, bestemmer den innskrevne vinkelen ∠BAC (se figur 10).
Kontroller at setning 1 av de påskrevne vinklene er oppfylt.
Figur 10. Innskrevet vinkel BAC og dens sentrale konvekse vinkel AOA. Kilde: F. Zapata med Geogebra.
Løsning
Vinkelen ∠BAC er påskrevet fordi toppunktet er på omkretsen, og sidene [AB) og [AC) er tangent til omkretsen, så definisjonen av innskrevet vinkel er tilfredsstilt.
På den annen side subjekterer den innskrevne vinkelen ∠BAC buen A⌒A, som er hele omkretsen. Den sentrale vinkelen som subduserer buen A⌒A er en konveks vinkel hvis mål er fullvinkelen (360º).
Den innskrevne vinkelen som subjekterer hele buen måler halvparten av den tilhørende sentrale vinkelen, det vil si ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Med alt det ovennevnte, er det bekreftet at denne spesielle saken oppfyller teorem 1.
referanser
- Baldor. (1973). Geometri og trigonometri. Mellomamerikansk kulturforlag.
- EA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
- Geometri 1. ESO. Vinkler på omkretsen. Gjenopprettet fra: edu.xunta.es/
- All vitenskap. Foreslåtte øvelser av vinkler i omkretsen. Gjenopprettet fra: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Innskrevet vinkel. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com