ENDIMENSJONALE BØLGER: MATEMATISK UTTRYKK OG EKSEMPLER - FYSISK - 2026

Én- dimensjonale bølger er de som forplanter seg i bare en retning, uavhengig av om det forekommer vibrasjon i det samme utbredelsesretningen eller ikke. Et godt eksempel på disse er bølgen som ferdes gjennom en stram streng som en gitar.

I en tverrgående plan bølge vibrerer partiklene i vertikal retning (de stiger og faller, se den røde pilen i figur 1), men den er endimensjonal fordi forstyrrelsen bare beveger seg i en retning, etter den gule pilen.

Figur 1: Bildet representerer en endimensjonal bølge. Merk at åsene og dalene danner linjer parallelt med hverandre og vinkelrett på forplantningsretningen. Kilde: self made.

Endimensjonale bølger vises ganske ofte i hverdagen. I det følgende avsnitt er noen eksempler på dem og også bølger som ikke er endimensjonalt beskrevet, for tydelig å fastslå forskjellene.

Eksempler på endimensjonale bølger og ikke-endimensjonale bølger

Endimensjonale bølger

Her er noen eksempler på endimensjonale bølger som lett kan observeres:

- En lydpuls som beveger seg gjennom en rett stang, siden det er en forstyrrelse som sprer seg over hele lengden på stangen.

- En bølge som beveger seg gjennom en vannkanal, selv når forskyvningen av vannoverflaten ikke er parallell med kanalen.

- Bølger som forplanter seg på en overflate eller gjennom tredimensjonalt rom kan også være endimensjonale, så lenge bølgefrontene deres er plan parallelle med hverandre og beveger seg i bare en retning.

Ikke-dimensjonale bølger

Et eksempel på en ikke-endimensjonal bølge finnes i bølger som dannes på en stille vannoverflate når en stein blir falt. Det er en todimensjonal bølge med en sylindrisk bølgefront.

Figur 2. Bildet representerer et eksempel på hva en endimensjonal bølge IKKE er. Legg merke til at kammene og dalene danner sirkler og forplantningsretningen er radiell utover, det er da en sirkulær todimensjonal bølge. Kilde: Pixabay.

Et annet eksempel på en ikke-en-dimensjonal bølge er lydbølgen som en fyrverker genererer ved å eksplodere i en viss høyde. Dette er en tredimensjonal bølge med sfæriske bølgefronter.

Matematisk uttrykk for en endimensjonal bølge

Den mest generelle måten å uttrykke en endimensjonal bølge som forplanter seg uten demping i den positive retningen til xy-aksen med hastighet v er, matematisk:

I dette uttrykket representerer y forstyrrelsen i posisjon x på tidspunktet t. Formen på bølgen er gitt av funksjonen f. For eksempel er bølgefunksjonen vist i figur 1: y (x, t) = cos (x - vt) og bølgebildet tilsvarer øyeblikket t = 0.

En bølge som denne, beskrevet av en kosinus- eller sinusfunksjon, kalles en harmonisk bølge. Selv om det ikke er den eneste bølgeformen som eksisterer, er den av største betydning, fordi enhver annen bølge kan fremstilles som en superposisjon eller sum av harmoniske bølger. Det er den velkjente Fourier-teoremet, så mye brukt for å beskrive signaler av alle slag.

Når bølgen beveger seg i den negative retningen til x-aksen, kan du bare endre v til -v i argumentet, og etterlate:

Figur 3 viser animasjonen av en bølge som reiser til venstre: det er en form som kalles den lorentiske funksjonen og dens matematiske uttrykk er:

I dette eksemplet er utbredelseshastigheten v = 1, -en enhet for plass for hver tidsenhet-.

Figur 3. Eksempel på en Lorentzian bølge som kjører til venstre med hastighet v = 1. Kilde: Utarbeidet av F. Zapata med Geogebra.

Endimensjonal bølgeforlikning

Bølgesammenligningen er en delvis derivatligning, hvis løsning selvfølgelig er en bølge. Den etablerer det matematiske forholdet mellom den romlige delen og den temporale delen av den, og har formen:

Jobbet eksempel

Følgende er det generelle uttrykket y (x, t) for en harmonisk bølge:

a) Beskriv den fysiske betydningen av parameterne A, k, ω og θo.

b) Hvilken betydning har ± tegnene i kosinusargumentet?

c) Kontroller at det gitte uttrykket faktisk er løsningen på bølgeforlikningen i forrige seksjon, og finn hastigheten v for utbredelse.

Løsning på)

Egenskapene til bølgen finnes i følgende parametere:

Andre derivat med hensyn til t: ∂ ² og / ∂t ² = -ω ² . A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Disse resultatene er substituert i bølgeforlikningen:

Både A og kosinus er forenklet, siden de vises på begge sider av likheten og argumentet til kosinus er det samme, derfor reduserer uttrykket til:

Som tillater å få en ligning for v i form av ω og k:

referanser

1. E-pedagogisk. Ligning av endimensjonale harmoniske bølger. Gjenopprettet fra: e-ducativa.catedu.es
2. Hjørnet av fysikk. Bølgekurs. Gjenopprettet fra: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Waves and Quantum Physics. Serie: Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Redigert av Douglas Figueroa. Simon Bolivar University. Caracas Venezuela.
4. Physics Lab. Bølgebevegelse. Gjenopprettet fra: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Foredrag 21: Den endimensjonale bølgeforlikningen: D'Alemberts løsning. Gjenopprettet fra: ubc.ca.
6. Bølgeforlikning. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com