ORTHOHEDRON: FORMLER, OMRÅDE, VOLUM, DIAGONAL, EKSEMPLER - MATTE - 2026

Den orthohedron er en volumetrisk eller tredimensjonal geometrisk figur som er karakterisert ved å ha seks rektangulære flater, slik at de motsatte flatene er i parallelle plan, og er like eller sammenfallende rektangel. På den annen side er ansiktene ved siden av et gitt ansikt i plan som er vinkelrett på ansiktet til det første ansiktet.

Orthohedronen kan også betraktes som et ortogonalt prisme med en rektangulær base, der de dihedrale vinklene som er dannet av planetene til to flater ved siden av et felles kantmål, måler 90º. Den dihedrale vinkelen mellom to flater måles i skjæringspunktet mellom ansiktene med et vinkelrett plan som er felles for dem.

Figur 1. Orthohedron. Kilde: F. Zapata med Geogebra.

På samme måte er ortohedronen et rektangel parallellpiped, ettersom dette er hvordan parallelpipingen er definert som den volumetriske figuren på seks flater, som er parallelle to for to.

I en hvilken som helst parallellpiped er ansiktene parallellogrammer, men i den rektangulære parallellpiped må ansiktene være rektangulære.

Deler av ortohedronen

Delene av en polyhedron, som orthohedron, er:

-Aristas

-Vertices

-Faces

Vinkelen mellom to kanter på en flate av ortohederen sammenfaller med den dihedrale vinkelen dannet av dens to andre flater ved siden av hver av kantene, og danner en rett vinkel. Følgende bilde tydeliggjør hvert konsept:

Figur 2. Deler av en ortohedron. Kilde: F. Zapata med Geogebra.

-Totalt har en ortohedron 6 ansikter, 12 kanter og 8 hjørner.

-Vinkelen mellom to kanter er en rett vinkel.

-Denhedrale vinkelen mellom to ansikter er også riktig.

-I hvert ansikt er det fire hjørner og i hvert toppunkt er det tre innbyrdes ortogonale ansikter.

Orthohedron-formler

Område

Overflaten eller området til en ortohedron er summen av områdene på ansiktene.

Hvis de tre kantene som møtes i et toppunkt har mål a, b og c, som vist i figur 3, har frontflaten område c⋅b og bunnflaten har også område c⋅b.

Da har de to sideflatene område ab hver. Og til slutt har gulv- og takflatene hvert område.

Figur 3. Ortoheder med dimensjoner a, b, c. Intern diagonal D og ekstern diagonal d.

Å legge området til alle ansiktene gir:

Ta en felles faktor og bestille ordene:

Volum

Hvis ortohedronen er tenkt som et prisme, beregnes volumet slik:

I dette tilfellet blir gulvet med dimensjoner c og a tatt som den rektangulære sokkelen, så området til sokkelen er c⋅a.

Høyden er gitt av lengden b på kantene som er ortogonale til ansiktene på sidene a og c.

Å multiplisere arealet av basen (a⋅c) med høyden b gir volumet V på ortohedronen:

Intern diagonal

I en orthohedron er det to typer diagonaler: de ytre diagonalene og de indre diagonalene.

De ytre diagonalene er på de rektangulære flatene, mens de indre diagonalene er segmentene som er sammenføyet med to motsatte hjørner, og blir forstått av motsatte vertekser de som ikke har noen kant.

I en ortoheder er det fire indre diagonaler, som alle er like store. Lengden på de indre diagonaler kan oppnås ved å bruke Pythagorean teorem for høyre trekanter.

Lengden d på den ytre diagonalen av gulvflaten til ortohedron oppfyller Pythagorean-forholdet:

d ² = a ² + c ²

Tilsvarende oppfyller den indre diagonalen av mål D det Pytagoreiske forholdet:

D ² = d ² + b ² .

Å kombinere de to foregående uttrykkene vi har:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Til slutt er lengden på hvilken som helst av de indre diagonalene til ortohederen gitt med følgende formel:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

eksempler

- Eksempel 1

En murer bygger en tank i form av en ortohedron hvis indre dimensjoner er: 6 mx 4 m i sokkelen og 2 m i høyden. Den spør:

a) Bestem den indre overflaten av tanken hvis den er helt åpen øverst.

b) Beregn volumet på det indre rommet til tanken.

c) Finn lengden på en indre diagonal.

d) Hva er kapasiteten til tanken i liter?

Løsning på

Vi tar dimensjonene til den rektangulære sokkelen a = 4 m og c = 6 m og høyden som b = 2 m

Området til en ortohedron med de gitte dimensjoner er gitt av følgende forhold:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Det er å si:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Det forrige resultatet er området til den lukkede ortohedronen med de gitte dimensjoner, men siden det er en tank som er fullstendig avdekket i sin øvre del, for å oppnå overflaten til tankens innvendige vegger, må området til det manglende lokket trekkes fra, som er:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Til slutt vil den indre overflaten av tanken være: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Løsning b

Det indre volumet til tanken er gitt av volumet til en ortoheder med de indre dimensjonene til tanken:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Løsning c

Den indre diagonalen til en oktaeder med dimensjonene til det indre av tanken har en lengde D gitt av:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Gjennomføre de angitte operasjonene vi har:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Løsning d

For å beregne tankens kapasitet i liter, er det nødvendig å vite at volumet til en kubikk desimeter er lik kapasiteten til en liter. Det hadde tidligere blitt beregnet i volum i kubikk, men det må transformeres til kubikk desimeter og deretter til liter:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 L

- Oppgave 2

Et glassakvarium har en kubisk form med en side 25 cm. Bestem området i m ² , volumet i liter, og lengden på en indre diagonal i cm.

Figur 4. Kubikkformet glassakvarium.

Løsning

Området beregnes ved å bruke den samme orthohedronformelen, men tar i betraktning at alle dimensjoner er identiske:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1250 cm ²

Volumet av kuben er gitt av:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

Lengden D på den indre diagonalen er:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

referanser

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Gjenopprettet fra: youtube.com.
2. Calculation.cc. Øvelser og løste problemer med områder og volumer. Gjenopprettet fra: calculo.cc.
3. Salvador R. Pyramid + orthohedron med GEOGEBRA (IHM). Gjenopprettet fra: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com