HYPERBOLISK PARABOLOID: DEFINISJON, EGENSKAPER OG EKSEMPLER - MATTE - 2024

En hyperbolisk paraboloid er en overflate hvis generelle ligning i kartesiske koordinater (x, y, z) tilfredsstiller følgende ligning:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Navnet "paraboloid" kommer av det faktum at variabelen z avhenger av kvadratene til variablene x og y. Mens adjektivet "hyperbolic" skyldes det faktum at ved faste verdier av z har vi likningen av en hyperbola. Formen på denne overflaten er lik den som en hestesadel.

Figur 1. Hyperbolisk paraboloid z = x ² - y ² . Kilde: F. Zapata ved bruk av Wolfram Mathematica.

Beskrivelse av hyperbolsk paraboloid

Følgende analyse vil bli gjort for å forstå arten av den hyperbolske paraboloiden:

1.- Det spesielle tilfellet a = 1, b = 1 vil bli tatt, det vil si at den kartesiske ligningen for paraboloidet forblir som z = x ² - y ² .

2.- Fly regnes parallelt med ZX-planet, det vil si y = ctte.

3.- Med y = ctte forblir den z = x ² - C, som representerer paraboler med greinene oppover og toppunktet under XY-planet.

Figur 2. Kurvenes familie z = x ² - C. Kilde: F. Zapata ved bruk av Geogebra.

4.- Med x = ctte forblir det z = C - y ² , som representerer paraboler med grenene nede og toppunktet over XY-planet.

Figur 3. Kurvenes familie z = C - y ² . Kilde: F. Zapata gjennom Geogebra.

5.- Med z = ctte forblir det C = x ² - y ² , som representerer hyperballer i plan parallelt med XY-planet. Når C = 0 er det to linjer (ved + 45º og -45º med hensyn til X-aksen) som krysser hverandre ved opprinnelsen på XY-planet.

Figur 4. Kurvefamilie x ² - y ² = C. Kilde: F. Zapata ved bruk av Geogebra ..

Egenskaper ved den hyperboliske paraboloid

1.- Fire forskjellige punkter i tredimensjonalt rom definerer ett og bare ett hyperbolsk paraboloid.

2.- Den hyperboliske paraboloid er en dobbelt styrt overflate. Dette betyr at til tross for at det er en buet overflate, går to forskjellige linjer gjennom hvert punkt i en hyperbolsk paraboloid som totalt hører til den hyperbolske paraboloid. Den andre overflaten som ikke er et plan og styres dobbelt, er revolusjonens hyperboloid.

Det er nettopp den andre egenskapen til den hyperbolske paraboloiden som har tillatt dets brede bruk i arkitektur siden overflaten kan genereres fra rette bjelker eller strenger.

Den andre egenskapen til det hyperbolske paraboloidet tillater en alternativ definisjon av det: det er overflaten som kan genereres av en bevegelig rett linje parallelt med et fast plan og kutter to faste linjer som fungerer som en guide. Følgende figur tydeliggjør denne alternative definisjonen av hyperbolsk paraboloid:

Figur 5. Hyperbolsk paraboloid er en dobbelt styrt overflate. Kilde: F. Zapata.

Utførte eksempler

- Eksempel 1

Vis at ligningen: z = xy, tilsvarer en hyperbolsk paraboloid.

Løsning

En transformasjon vil bli brukt på x- og y-variablene som tilsvarer en rotasjon av de kartesiske aksene med hensyn til Z-aksen på + 45º. De gamle x- og y-koordinatene blir transformert til de nye x 'og y' i henhold til følgende forhold:

x = x '- y'

y = x '+ y'

mens z-koordinaten forblir den samme, det vil si z = z '.

Ved å erstatte ligningen z = xy har vi:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Ved å anvende det bemerkelsesverdige produktet av forskjellen med summen lik forskjellen på firkanter, har vi:

z '= x' ² - y ' ²

som helt klart tilsvarer den opprinnelig gitte definisjonen av hyperbolsk paraboloid.

Avskjæring av planene parallelt med XY-aksen med den hyperbolske paraboloid z = xy bestemmer like sidebaserte hyperboler som har asymptoter til planene x = 0 og y = 0.

- Eksempel 2

Bestem parametrene a og b til den hyperboliske paraboloid som går gjennom punktene A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) og D (2, -1, 32/9).

Løsning

I følge dens egenskaper bestemmer fire punkter i tredimensjonalt rom en enkelt hyperbolsk paraboloid. Den generelle ligningen er:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Vi erstatter de gitte verdiene:

For punkt A har vi 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , en ligning som er tilfredsstilt uansett verdiene til parameterne a og b er.

Ved å erstatte punkt B, oppnår vi:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Mens det for punkt C gjenstår:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Til slutt, for punkt D, oppnår vi:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Som er identisk med den forrige ligningen. Til syvende og sist må ligningssystemet løses:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Å trekke den andre ligningen fra den første gir:

27/9 = 3 / a ² som innebærer at a ² = 1.

På lignende måte trekkes den andre ligningen fra firedoblingen til den første, og oppnår:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / en ² -1 / b ² + 4 / b ²

Som er forenklet som:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Kort sagt, den hyperboliske paraboloid som går gjennom de gitte punktene A, B, C og D har en kartesisk ligning gitt av:

z = x ² - (4/9) y ²

- Eksempel 3

I henhold til egenskapene til den hyperbolske paraboloiden, går to linjer gjennom hvert punkt som er fullstendig inneholdt i det. For tilfellet z = x ^ 2 - y ^ 2 finner ligningen for de to linjene som går gjennom punktet P (0, 1, -1) som tydelig tilhører den hyperboliske paraboloid, slik at alle punktene til disse linjene også hører til samme.

Løsning

Ved å bruke det bemerkelsesverdige produktet av forskjellen på kvadrater kan ligningen for den hyperboliske paraboloid skrives slik:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Hvor c er en ikke-konstant konstant.

Ligningen x + y = cz, og ligningen x - y = 1 / c tilsvarer to plan med normale vektorer n = <1,1, -c> og m = <1, -1,0>. Vektoren Produktet mxn = <- c, -C, -2> gir oss retning av krysningslinjen for de to plan. Da har en av linjene som går gjennom punktet P og tilhører den hyperboliske paraboloid, en parametrisk ligning:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

For å bestemme c erstatter vi punktet P i ligningen x + y = cz, og oppnår:

c = -1

På en lignende måte, men med tanke på ligningene (x - y = kz) og (x + y = 1 / k) har vi den parametriske ligningen på linjen:

= <0, 1, -1> + s med k = 1.

Oppsummert, de to linjene:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> og = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

De er fullstendig inneholdt i den hyperbolske paraboloid z = x ² - y ^{2 som} går gjennom punktet (0, 1, -1).

Som en sjekk, antar at t = 1 som gir oss poenget (1,2, -3) på den første linjen. Du må sjekke om det også er på paraboloidet z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Noe som bekrefter at det faktisk hører til overflaten av den hyperboliske paraboloid.

Den hyperbolske paraboloid i arkitektur

Figur 6. Oceanographic of Valencia (Spain) Kilde: Wikimedia Commons.

Den hyperbolske paraboloiden er blitt brukt i arkitektur av de store avantgarde-arkitektene, blant hvilke navnene på den spanske arkitekten Antoni Gaudí (1852-1926) og veldig spesielt den spanske Félix Candela (1910-1997).

Nedenfor er noen verk basert på den hyperboliske paraboloid:

-Kapell av byen Cuernavaca (Mexico) arbeid av arkitekten Félix Candela.

-The Oceanographic of Valencia (Spain), også av Félix Candela.

referanser

1. Leksikon av matematikk. Regulert overflate. Gjenopprettet fra: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hyperbolisk paraboloid. Gjenopprettet fra: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid." Fra MathWorld - A Wolfram Web Resource. Gjenopprettet fra: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Parabolsk. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Parabolsk. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Regulert overflate. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com