PARALLELEPIPED: EGENSKAPER, TYPER, AREAL, VOLUM - MATTE - 2026

En parallellpiped er et geometrisk legeme som består av seks ansikter, og den viktigste egenskapen er at alle ansiktene er parallellogrammer og at de motsatte flater er parallelle med hverandre. Det er en vanlig polyeder i hverdagen vår, siden vi kan finne den i skobokser, formen på en murstein, formen til en mikrobølgeovn, etc.

Parallellpiped er en polyhedron og har et begrenset volum, og alle ansikter er flate. Det er en del av gruppen av prismer, som er de polyederene der alle toppunktene er inneholdt i to parallelle plan.

Elements of the Parallelepiped

ansikter

De er hvert av områdene dannet av parallellogrammer som begrenser parallellpiped. En parallellpiped har seks ansikter, der hvert ansikt har fire tilstøtende flater og en motsatt side. Hvert ansikt er også parallelt med det motsatte.

kanter

De er den vanlige siden av to ansikter. Totalt har en parallellpiped tolv kanter.

Vertex

Det er det vanlige poenget med tre ansikter som ligger inntil hverandre to etter to. En parallellpiped har åtte hjørner.

Diagonal

Gitt to ansikter med en parallellpiped motsatt hverandre, kan vi tegne et linjesegment som går fra toppunktet til det ene ansiktet til det motsatte toppunktet til det andre.

Dette segmentet er kjent som diagonalen til parallellpiped. Hver parallellpiped har fire diagonaler.

Senter

Det er punktet hvor alle diagonalene krysser hverandre.

Kjennetegn på Parallelepiped

Som vi allerede har nevnt, har dette geometriske legemet tolv kanter, seks ansikter og åtte hjørner.

I en parallellpiped kan tre sett dannet av fire kanter identifiseres, som er parallelle med hverandre. Videre har kantene på nevnte sett også den egenskapen at de har samme lengde.

En annen egenskap som parallelepipeds har, er at de er konvekse, det vil si at hvis vi tar noen par par punkter som hører til det indre av parallelepiped, vil segmentet bestemt av nevnte parpar også være innenfor parallelepiped.

I tillegg er parallellepipeder som er konvekse polyedre, i samsvar med Eulers teorem for polyeder, noe som gir oss et forhold mellom antall ansikter, antall kanter og antall hjørner. Dette forholdet er gitt i form av følgende ligning:

C + V = A + 2

Denne egenskapen er kjent som Euler-karakteristikken.

Hvor C er antall ansikter, V antall lodd og A antall kanter.

typer

Vi kan klassifisere parallelepipeds basert på ansiktene deres, i følgende typer:

Orthohedron

De er parallellpipedene der ansiktene er dannet av seks rektangler. Hvert rektangel er vinkelrett på de som deler en kant. De er de vanligste i hverdagen vår, dette er den vanlige formen for skobokser og murstein.

Vanlig kube eller heksahedron

Dette er et spesielt tilfelle av det forrige, der hver av ansiktene er en firkant.

Kuben er også en del av de geometriske kroppene som kalles platoniske faste stoffer. Et platonisk fast stoff er en konveks polyeder, slik at både ansiktene og de indre vinklene er lik hverandre.

rhombohedron

Det er en parallelepiped med rhombuses for ansiktet. Disse rombene er alle like på hverandre, siden de deler kanter.

rhombohedron

De seks ansiktene er romboider. Husk at en romboid er en polygon med fire sider og fire vinkler som er like to til to. Rhomboids er parallellogrammer som verken er firkanter, heller ikke rektangler, eller rhombuses.

På den annen side er skrå parallellepipeder de der minst en høyde ikke stemmer overens med kanten. I denne klassifiseringen kan vi inkludere rhombohedra og rhombohedra.

Diagonalberegning

For å beregne diagonalen til en orthohedron kan vi bruke Pythagorean teorem for R ³ .

Husk at en ortohedron har den egenskapen at hver side er vinkelrett på sidene som deler en kant. Av dette faktum kan vi utlede at hver kant er vinkelrett på dem som har en toppunkt.

For å beregne lengden på en diagonal av en orthohedron fortsetter vi som følger:

1. Vi beregner diagonalen til et av ansiktene, som vi vil legge som en base. For dette bruker vi Pythagorean teorem. La oss nevne denne diagonalen d _b .

2. Da kan vi med d _b danne en ny høyre trekant, slik at hypotenusen til den nevnte trekanten er diagonalen D vi leter etter.

3. Vi bruker Pythagorean teorem igjen og vi har at lengden på denne diagonalen er:

En annen måte å beregne diagonaler på en mer grafisk måte er med tillegg av gratis vektorer.

Husk at to frie vektorer A og B blir lagt ved å plassere halen til vektor B med spissen av vektor A.

Vektoren (A + B) er den som begynner ved halen til A og slutter på spissen av B.

La oss vurdere en parallellpiped som vi ønsker å beregne en diagonal for.

Vi identifiserer kantene med praktisk orienterte vektorer.

Så legger vi til disse vektorene, og den resulterende vektoren vil være diagonalen til parallellpiped.

Område

Arealet til en parallellpiped er gitt av summen av hvert av områdene på ansiktene.

Hvis vi bestemmer en av sidene som basen,

A _L + 2A _B = Totalt areal

Hvor A _L er lik summen av områdene på alle sidene ved siden av basen, kalt lateralområdet og A _B er basens område.

Avhengig av typen parallelepiped vi jobber med, kan vi skrive om denne formelen.

Område av en ortohedron

Det er gitt av formelen

A = 2 (ab + bc + ca).

Eksempel 1

Gitt følgende ortheder, med sidene a = 6 cm, b = 8 cm og c = 10 cm, beregne arealet til parallellpiped og lengden på diagonalen.

Ved å bruke formelen for området til en ortohedron har vi det

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Legg merke til at siden det er en orthohedron, er lengden på noen av de fire diagonalene den samme.

Ved å bruke Pythagorean teorem for plass har vi det

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Område av en kube

Siden hver kant har samme lengde, har vi at a = b og a = c. Å erstatte i den forrige formelen vi har

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Eksempel 2

Boksen til en spillkonsoll er formet som en kube. Hvis vi vil pakke denne esken med gavepapir, hvor mye papir vil vi bruke når vi vet at lengden på kantene på kuben er 45 cm?

Ved å bruke formelen for kubens område oppnår vi det

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Område av en rhombohedron

Siden alle ansiktene er de samme, er det bare å beregne arealet til en av dem og multiplisere det med seks.

Vi har at området til en romb kan beregnes gjennom diagonalene med følgende formel

A _R = (Dd) / 2

Ved å bruke denne formelen følger det at det totale arealet av rhombohedron er

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Eksempel 3

Ansiktene til følgende rhombohedron er dannet av en rhombus hvis diagonaler er D = 7 cm og d = 4 cm. Ditt område vil være

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ² .

Område av en rhombohedron

For å beregne arealet til en rhombohedron må vi beregne arealet til rhomboids som utgjør den. Siden parallellepipeder oppfyller egenskapen at motsatte sider har samme område, kan vi knytte sidene i tre par.

På denne måten har vi at ditt område vil være

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Hvor b _i er basene assosiert med sidene og h _i deres relative høyde tilsvarende disse basene.

Eksempel 4

Tenk på følgende parallellpiped,

der side A og side A '(dens motsatte side) har en b b = 10 og en høyde h = 6. Det markerte området har en verdi av

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B og B 'har b = 4 og h = 6, altså

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC og C 'har b = 10 og h = 5, altså

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Endelig er området for rhombohedron

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volum av en parallelepiped

Formelen som gir oss volumet til en parallellpiped er produktet av området til en av dens flater med høyden som tilsvarer det flaten.

V = A _C h _C

Avhengig av typen parallelepiped, kan denne formelen forenkles.

Dermed har vi for eksempel at volumet til en ortohedron vil bli gitt av

V = abc.

Hvor a, b og c representerer lengden på kantene på ortohedronen.

Og i det spesielle tilfellet av kuben er

V = a ³

Eksempel 1

Det er tre forskjellige modeller for informasjonskapsler, og du vil vite i hvilke av disse modellene du kan lagre flere informasjonskapsler, det vil si hvilken av boksene som har størst volum.

Den første er en kube hvis kant har en lengde på = 10 cm

Volumet vil være V = 1000 cm ³

Den andre har kanter b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Og derfor er volumet V = 765 cm ³

Og den tredje har e = 9 cm, f = 9 cm og g = 13 cm

Og volumet er V = 1053 cm ³

Derfor er boksen med størst volum den tredje.

En annen metode for å oppnå volumet til en parallelepiped er å bruke vektoralgebra. Spesielt triple dot-produktet.

En av de geometriske tolkningene som det tredobbelte skalareproduktet har, er volumet til parallellpiped, hvis kanter er tre vektorer som deler samme toppunkt som et utgangspunkt.

På denne måten, hvis vi har en parallellpiped og vi vil vite hva volumet er, er det nok å representere det i et koordinatsystem i R3 ^ved å få en av toppunktene til å sammenfalle med opprinnelsen.

Da representerer vi kantene som sammenfaller ved opprinnelsen med vektorer som vist på figuren.

Og på denne måten har vi at volumet av nevnte parallelepiped er gitt av

V = - AxB ∙ C-

Eller tilsvarende er volumet bestemmelsen av 3 × 3-matrisen, dannet av komponentene i kantvektorene.

Eksempel 2

Når representerer den følgende parallellepiped i R- ³ kan man se at vektorene som bestemmer det er de følgende

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) og w = (-0,25, -4, 4)

Bruker det trippel skalæreproduktet vi har

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Av dette konkluderer vi at V = 60

La oss nå vurdere følgende parallelepiped i R3 hvis kanter bestemmes av vektorene

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) og C = (3, 4, 4)

Å bruke determinanter gir oss det

Dermed har vi at volumet til nevnte parallelepiped er 112.

Begge er likeverdige måter å beregne volum på.

Perfekt parallellpiped

En orthohedron er kjent som en Euler-murstein (eller Euler-blokk) som oppfyller egenskapen at både lengden på kantene og lengden på diagonalene på hvert av ansiktene er hele tall.

Selv om Euler ikke var den første forskeren som studerte ortohedraen som oppfyller denne egenskapen, fant han interessante resultater om dem.

Den minste Euler-teglsten ble oppdaget av Paul Halcke og lengdene på kantene er a = 44, b = 117 og c = 240.

Et åpent problem i tallteorien er som følger

Er det perfekte ortohedra?

For øyeblikket er ikke dette spørsmålet besvart, siden det ikke har vært mulig å bevise at slike organer ikke eksisterer, men heller ikke har blitt funnet.

Det som er vist så langt, er at perfekte parallellepipeder eksisterer. Den første som blir oppdaget har lengden på kantene verdiene 103, 106 og 271.

Bibliografi

1. Guy, R. (1981). Uløste problemer i tallteori. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometri. Framgang.
3. Leithold, L. (1992). Beregningen med analytisk geometri. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Teknisk tegning: Aktivitetsbok 3 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysikk Vol. 1. Mexico: Kontinentalt.