SIRKULÆRE PERMUTASJONER: BEVIS, EKSEMPLER, LØSTE ØVELSER - DUDAS - 2026

De sirkulære permutasjonene er forskjellige typer grupperinger av alle elementer i et sett, når de skal ordnes i sirkler. I denne typen permutasjon er rekkefølgen viktig og elementene blir ikke gjentatt.

Anta for eksempel at du ønsker å vite antall distinkte matriser med sifre en til fire, og plasser hvert nummer på en av hjørnene til en romb. Dette vil være 6 ordninger totalt:

Det skal ikke forveksles at nummer en er i den øvre posisjonen til romb i alle tilfeller som en fast stilling. Sirkulære permutasjoner endres ikke ved rotasjonen av matrisen. Følgende er en enkelt eller samme permutasjon:

Demo og formler

I eksemplet med de forskjellige 4-sifrede sirkulære matriser som ligger i hjørnene til en rhombus, kan antall arrays (6) bli funnet slik:

1- Hvilket som helst av de fire sifrene blir tatt som utgangspunkt i hvilken som helst av toppunktene og går videre til neste toppunkt. (det spiller ingen rolle om den dreies med klokken eller mot klokken)

2- Det er tre alternativer igjen for å velge det andre toppunktet, så er det 2 alternativer for å velge det tredje toppunktet, og selvfølgelig er det bare ett valgalternativ for det fjerde toppunktet.

3- Således oppnås antall sirkulære permutasjoner, betegnet med (4 - 1) P (4 - 1), av produktet av valgalternativene i hver posisjon:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 forskjellige firesifrede sirkulære matriser.

Generelt er antall sirkulære permutasjoner som kan oppnås med alle n-elementene i et sett:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2) … (2) (1)

Legg merke til at (n - 1)! Det er kjent som n factorial og forkorter produktet av alle tall fra nummeret (n - 1) til nummer ett.

eksempler

Eksempel 1

Hvor mange forskjellige måter må 6 personer sitte ved et sirkulært bord?

Du vil finne antall forskjellige måter som 6 personer kan sitte rundt et rundt bord.

Antall måter å sitte = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Antall måter å sitte på = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 forskjellige måter

Eksempel 2

Hvor mange forskjellige måter må 5 personer finne seg selv i toppunktet av en femkant?

Det søkes om antall måter 5 personer kan befinne seg i hver av toppunktene på en femkant.

Antall måter å bli lokalisert = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Antall måter å være lokalisert på = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskjellige måter

Løste øvelser

- Oppgave 1

En gullsmed skaffer seg 12 forskjellige edelstener for å plassere dem i timene på en klokke som han forbereder på vegne av kongehuset i et europeisk land.

a) Hvor mange forskjellige måter må han ordne steinene på klokken?

b) Hvor mange forskjellige former har den hvis steinen som går til klokka 12 er unik?

c) Hvor mange forskjellige former hvis steinen ved 12-tiden er unik og steinene på de tre andre kardinalpunktene, 3, 6 og 9; Er det tre spesielle steiner som kan byttes, og resten av timene tildeles fra resten av steinene?

Solutions

a) Antallet måter å arrangere alle steinene på klokens omkrets er bedt om; det vil si antall sirkulære arrangementer som involverer alle tilgjengelige steiner.

Antall ordninger på klokken = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Antall fikser på klokken = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall arrangementer på klokken = 39976800 forskjellige former

b) Han lurer på hvor mange forskjellige måter å bestille på, og vet at steinen på klokka 12 er unik og fast; det vil si antall sirkulære arrangementer som involverer de resterende 11 steinene.

Antall arrangementer på klokken = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Antall fikser på klokken = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall arrangementer på klokken = 3 628 800 forskjellige former

c) Endelig søkes antall måter å bestille alle steinene på, bortsett fra klokken 12 som er fastmontert, 3, 6 og 9 steiner som har 3 steiner som skal tilordnes hverandre; det vil si 3! ordningsmuligheter, og antall sirkulære arrangementer som involverer de resterende 8 steinene.

Antall fikser i klokken = 3! * = 3! * (8–1)!

Antall arrangementer i klokken = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Antall arrangementer på klokken = 241920 forskjellige former

- Oppgave 2

Styringsgruppen til et selskap består av 8 medlemmer og de møtes ved et ovalt bord.

a) Hvor mange forskjellige former for arrangement rundt bordet har komiteen?

b) Anta at styrelederen sitter foran bordet i en hvilken som helst komitéordning, hvor mange forskjellige former for ordning har resten av komiteen?

c) Anta at visepresidenten og sekretæren sitter på hver side av presidenten i en komitéordning. Hvor mange forskjellige former for ordning har resten av komiteen?

Solutions

a) Vi ønsker å finne antall forskjellige måter å arrangere de 12 medlemmene av komiteen rundt det ovale bordet.

Antall komiteopplegg = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Antall utvalgskomiteer = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall utvalgskomiteer = 39976800 forskjellige former

b) Siden komitélederen er i en fast stilling, søkes antall måter å bestille de resterende 11 komitémedlemmene rundt det ovale bordet.

Antall utvalgskomiteer = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Antall utvalgsordninger = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall utvalgsordninger = 3.628.800 forskjellige former

c) Presidenten ligger i en fast stilling og til sidene er visepresidenten og sekretæren med to muligheter for ordning: visepresident på høyre side og sekretær på venstre side eller visepresident på venstre side og sekretær på høyre side. Så vil du finne antall forskjellige måter å bestille de resterende 9 medlemmene av komiteen rundt det ovale bordet og multiplisere med de to former for ordninger som visepresidenten og sekretæren har.

Antall komiteordninger = 2 * = 2 *

Antall utvalgsordninger = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Antall utvalgskomiteer = 80640 forskjellige former

referanser

1. Boada, A. (2017). Bruk av permutasjon med repetisjon som undervisning i eksperimenter. Vivat Academia Magazine. Gjenopprettet fra researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Sannsynlighet og statistikk. Bruksområder og metoder. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G .; Stanley, J. (1996). Statistiske metoder som ikke er brukt i samfunnsvitenskapene. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistikk. Fjerde utgave McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ja, Ka. (2007). Sannsynlighet og statistikk for ingeniører og forskere. Åttende utg. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistikk anvendt for næringsliv og økonomi. Tredje utg. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutasjon. Gjenopprettet fra en.wikipedia.org.