PERMUTASJONER UTEN REPETISJON: FORMLER, BEVIS, ØVELSER, EKSEMPLER - DUDAS - 2026

En permutasjon uten repetisjon av n elementer er de forskjellige gruppene av forskjellige elementer som kan oppnås ved ikke å gjenta noe element, bare varierende rekkefølgen på elementenes plassering.

Følgende formel brukes for å finne ut antall permutasjoner uten repetisjon:

Pn = n!

Hvilken utvidet ville være Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1).

Så i det forrige praktiske eksemplet vil det bli brukt som følger:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskjellige firesifrede tall.

Dette er de 24 arrayene totalt: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Som det er sett, er det ingen gjentak i alle fall, det vil si 24 forskjellige tall.

Demo og formler

24 Arrangement av 4 forskjellige figurer

Vi skal analysere mer spesifikt eksemplet på de 24 forskjellige 4-sifrede ordningene som kan dannes med sifrene i tallet 2468. Antallet ordninger (24) kan bli kjent som følger:

Du har 4 alternativer for å velge det første sifferet, som etterlater 3 alternativer for å velge det andre. To sifre er allerede satt, og det gjenstår 2 alternativer for å velge det tredje sifferet. Det siste sifferet har bare ett valgalternativ.

Derfor oppnås antall permutasjoner, betegnet med P4, av produktet av valgalternativene i hver posisjon:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskjellige firesifrede tall

Generelt er antallet forskjellige permutasjoner eller arrangementer som kan utføres med alle n-elementene i et gitt sett:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1)

Uttrykket n! det er kjent som n factorial og betyr produktet av alle de naturlige tallene som ligger mellom nummeret n og nummer ett, inkludert begge deler.

12 Arrangementer av 2 forskjellige figurer

Anta nå at du vil vite antall permutasjoner eller tosifrede tall som kan dannes med sifrene på tallet 2468.

Disse ville være 12 ordninger totalt: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Du har 4 alternativer for å velge det første sifferet, som etterlater 3 sifre for å velge det andre. Derfor oppnås antall permutasjoner av de fire sifrene to for to, betegnet med 4P2, av produktet av valgalternativene i hver posisjon:

4P2 = 4 * 3 = 12 forskjellige 2-sifrede tall

Generelt er antallet forskjellige permutasjoner eller arrangementer som kan utføres med r elementer av n totalt i et gitt sett:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Ovennevnte uttrykk er avkortet før du spiller n !. For å fullføre n! fra det skulle vi skrive:

n! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1)

Faktorene som vi legger til, representerer på sin side en faktor:

(n - r) … (2) (1) = (n - r)!

Og dermed,

n! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1) = n (n - 1) (n - 2) … (n - r)!

Herfra

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2) … = nPr

eksempler

Eksempel 1

Hvor mange forskjellige 5-bokstavskombinasjoner av bokstaver kan konstrueres med bokstavene i ordet KEY?

Vi ønsker å finne antall forskjellige bokstavkombinasjoner på 5 bokstaver som kan bygges med de 5 bokstavene i ordet KEY; det vil si antallet matriser med 5 bokstaver som involverer alle tilgjengelige bokstaver i ordet KEY.

Antall 5 brevord = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 forskjellige 5-bokstavskombinasjoner.

Disse vil være: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC … opptil 120 forskjellige bokstavkombinasjoner totalt.

Eksempel 2

Du har 15 nummererte baller, og du vil vite hvor mange forskjellige grupper på 3 baller som kan bygges med de 15 nummererte ballene?

Du vil finne antall grupper med 3 baller som kan lages med de 15 nummererte ballene.

Antall grupper på 3 baller = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Antall grupper på 3 baller = 15 * 14 * 13 = 2730 grupper med 3 baller

Løste øvelser

Oppgave 1

En fruktbutikk har en utstillingsstand som består av en rad med rom som ligger i inngangspartiet til lokalene. På en dag anskaffer grønnsakeren seg for salg: appelsiner, bananer, ananas, pærer og epler.

a) Hvor mange forskjellige måter har du for å bestille utstillingen?

b) Hvor mange forskjellige måter må du bestille standen hvis du i tillegg til de nevnte fruktene (5) du mottok den dagen: mango, fersken, jordbær og druer (4)?

a) Vi ønsker å finne antall forskjellige måter å bestille alle fruktene på displayrekken; det vil si antall ordninger med 5 fruktvarer som inkluderer alle fruktene som er tilgjengelige for salg den dagen.

Antall standarrangementer = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall standarrangementer = 120 måter å presentere standen på

b) Vi ønsker å finne antall forskjellige måter å bestille alle fruktene i displayrekken hvis 4 ekstra elementer ble lagt til; det vil si antall ordninger med 9 fruktvarer som inkluderer alle fruktene som er tilgjengelige for salg den dagen.

Antall standarrangementer = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall stativarrangementer = 362 880 måter å presentere stativet på

Oppgave 2

Et lite matutsalg har en tomt med nok plass til å parkere 6 biler.

a) Hvor mange forskjellige måter å bestille kjøretøyene på tomten kan velges?

b) Anta at det er anskaffet en sammenhengende tomt med dimensjoner som tillater 10 kjøretøyer å parkere. Hvor mange forskjellige former for kjøretøysarrangement kan velges nå?

a) Vi ønsker å finne antall forskjellige måter å bestille de 6 kjøretøyene som kan huses på tomten.

Antall arrangementer av de 6 kjøretøyene = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall arrangementer av de 6 kjøretøyene = 720 forskjellige måter å bestille de 6 kjøretøyene på tomten.

b) Vi ønsker å finne antall forskjellige måter å bestille de 10 kjøretøyene som kan huse på tomten etter utvidelsen av tomten.

Antall arrangementer av de 10 kjøretøyene = P10 = 10!

Antall kjøretøysarrangementer = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antall arrangementer av de 10 kjøretøyene = 3.628.800 forskjellige måter å bestille de 10 kjøretøyene på tomten.

Oppgave 3

En blomsterhandler har blomster i 6 forskjellige farger for å lage blomsterflagg av nasjoner som bare har 3 farger. Hvis det er kjent at rekkefølgen på farger er viktig i flaggene,

a) Hvor mange forskjellige flagg med 3 farger kan lages med de 6 tilgjengelige fargene?

b) Selgeren kjøper blomster med 2 ekstra farger til de 6 han allerede hadde, hvor mange forskjellige flagg med 3 farger kan du lage?

c) Siden du har 8 farger, bestemmer du deg for å utvide ditt utvalg av flagg. Hvor mange forskjellige 4-fargeflagg kan du lage?

d) Hvor mange av to farger?

a) Vi ønsker å finne antall forskjellige flagg med 3 farger som kan lages ved å velge fra de 6 tilgjengelige fargene.

Antall 3-fargeflagg = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Antall 3-fargeflagg = 6 * 5 * 4 = 120 flagg

b) Du vil finne antall forskjellige flagg med 3 farger som kan lages ved å velge blant de 8 tilgjengelige fargene.

Antall 3-fargeflagg = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Antall 3-farges flagg = 8 * 7 * 6 = 336 flagg

c) Antallet forskjellige 4-fargeflagg som kan lages ved å velge blant de 8 tilgjengelige fargene, må beregnes.

Antall 4-farges flagg = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Antall flagg med 4 farger = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 flagg

d) Du vil bestemme antall forskjellige 2-fargeflagg som kan lages ved å velge blant de 8 tilgjengelige fargene.

Antall 2-fargeflagg = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Antall 2-fargede flagg = 8 * 7 = 56 flagg

referanser

1. Boada, A. (2017). Bruk av permutasjon med repetisjon som undervisning i eksperimenter. Vivat Academia Magazine. Gjenopprettet fra researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Sannsynlighet og statistikk. Bruksområder og metoder. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G .; Stanley, J. (1996). Statistiske metoder som ikke er brukt i samfunnsvitenskapene. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistikk. Fjerde utgave McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ja, Ka. (2007). Sannsynlighet og statistikk for ingeniører og forskere. Åttende utg. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistikk anvendt for næringsliv og økonomi. Tredje utg. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutasjon. Gjenopprettet fra en.wikipedia.org.