KONVEKS POLYGON: DEFINISJON, ELEMENTER, EGENSKAPER, EKSEMPLER - MATTE - 2025

En konveks polygon er en geometrisk figur inneholdt i et plan som er preget av at det har alle sine diagonaler i sitt indre og vinklene måler mindre enn 180º. Blant dens egenskaper er følgende:

1) Den består av n påfølgende segmenter der den siste av segmentene blir med det første. 2) Ingen av segmentene krysser hverandre slik at de avgrenser planet i et indre område og et ytre område. 3) Hver vinkel i det indre området er strengt tatt mindre enn en plan vinkel.

Figur 1. Polygoner 1, 2 og 6 er konvekse. (Utarbeidet av Ricardo Pérez).

En enkel måte å bestemme om en polygon er konveks eller ikke, er å vurdere linjen som går gjennom en av sidene, som bestemmer to halvplaner. Hvis i hver linje som går gjennom den ene siden, de andre sidene av polygonet er i det samme halvplanet, er det en konveks polygon.

Elementer av en polygon

Hver polygon består av følgende elementer:

- Sider

- Vertices

Sidene er hvert av de påfølgende segmentene som utgjør polygonen. I en polygon kan ingen av segmentene som utgjør den ha en åpen ende, i så fall ville det være en polygonal linje, men ikke en polygon.

Vertices er knutepunktene for to påfølgende segmenter. I en polygon tilsvarer alltid antall toppunkter antall sider.

Hvis to sider eller deler av en polygon krysser hverandre, har du en krysset polygon. Kryssingspunktet regnes ikke som et toppunkt. En krysspolygon er en ikke-konveks polygon. Stjernepolygoner er tverrpolygoner og er derfor ikke konvekse.

Når en polygon har alle sidene samme lengde, så har vi en vanlig polygon. Alle vanlige polygoner er konvekse.

Konvekse og ikke-konvekse polygoner

Figur 1 viser flere polygoner, noen av dem er konvekse og noen av dem ikke. La oss analysere dem:

Tallet 1 er en tresidig polygon (trekant) og alle innvendige vinkler er mindre enn 180º, derfor er det en konveks polygon. Alle trekanter er konvekse polygoner.

Tallet 2 er en firsidig polygon (firkantet) der ingen av sidene skjærer hverandre og hver indre vinkel er mindre enn 180º. Det er da en konveks polygon med fire sider (konveks firkantet).

På den annen side er tallet 3 en polygon med fire sider, men en av dens indre vinkler er større enn 180º, slik at den ikke oppfyller konveksitetstilstanden. Det vil si at det er en ikke-konveks firsidig polygon som kalles en konkav firkantet.

Tallet 4 er en polygon med fire segmenter (sider), hvorav to skjærer hverandre. De fire innvendige vinklene er mindre enn 180 º, men siden to sider skjærer hverandre er det en ikke-konveks krysset polygon (krysset firkantet).

Et annet tilfelle er tallet 5. Dette er en polygon med fem sider, men siden en av dens indre vinkler er større enn 180º, har vi da en konkav polygon.

Endelig har tallet 6, som også har fem sider, alle innvendige vinkler mindre enn 180º, så det er en konveks polygon med fem sider (konveks femkant).

Egenskaper til den konvekse polygon

1- En ikke-krysset polygon eller enkel polygon deler planet som inneholder det i to regioner. Det indre området og det ytre området, polygonen er grensen mellom de to regionene.

Men hvis mangekanten er konveks i tillegg, så har vi et indre område som ganske enkelt er koblet sammen, noe som betyr at hvis du tar to punkter fra det indre området, kan det alltid forbindes med et segment som helt hører til det indre området.

Figur 2. En konveks polygon er ganske enkelt tilkoblet, mens en konkave ikke er det. (Utarbeidet av Ricardo Pérez).

2- Hver indre vinkel i en konveks polygon er mindre enn en plan vinkel (180º).

3- Alle de indre punktene i en konveks polygon hører alltid til et av halvplanene som er definert av linjen som går gjennom to påfølgende hjørner.

4- I en konveks polygon er alle diagonalene totalt inneholdt i det indre polygonale området.

5- De indre punktene i en konveks polygon hører helt til den konvekse vinkelsektoren definert av hver indre vinkel.

6- Hver polygon der alle toppunktene er på en omkrets er en konveks polygon som kalles en syklisk polygon.

7- Hver syklisk polygon er konveks, men ikke hver konveks polygon er syklisk.

8- Enhver ikke-krysset polygon (enkel polygon) som har alle sidene av samme lengde er konveks og er kjent som en vanlig polygon.

Diagonaler og vinkler i konvekse polygoner

9- Det totale antallet N av diagonaler av en konveks polygon med n sider er gitt ved følgende formel:

N = ½ n (n - 3)

Bevis: I en konveks polygon med n sider av hvert toppunkt trekkes n - 3 diagonaler, siden selve toppunktet og de to tilstøtende sidene er utelukket. Siden det er n toppunkt, tegnes totalt n (n - 2) diagonaler, men hver diagonal ble trukket to ganger, så antallet diagonaler (uten repetisjon) er n (n-2) / 2.

10- Summen S av de indre vinklene til en konveks polygon med n sider er gitt ved følgende forhold:

S = (n - 2) 180º

eksempler

Eksempel 1

Syklisk sekskant er en polygon med seks sider og seks hjørner, men alle toppunktene er på samme omkrets. Hver sykliske polygon er konveks.

Syklisk sekskant.

Eksempel 2

Bestem verdien av de indre vinklene til en vanlig enegon.

Løsning: Enegonet er en 9-sidig polygon, men hvis den også er regelmessig, er alle sider og vinkler like.

Summen av alle de indre vinklene til en 9-sidig polygon er:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Men det er 9 indre vinkler med like mål α, så følgende likhet må oppfylles:

S = 9 α = 1260º

Herfra følger det at målet a for hver indre vinkel i det vanlige enegonet er:

α = 1260º / 9 = 140º