ARCHIMEDES 'PRINSIPP: FORMEL, BEVIS, APPLIKASJONER - FYSISK - 2026

De Arkimedes ' prinsipp sier at et legeme nedsenket helt eller delvis, mottar en vertikal oppadrettet kraft som kalles skyvekraft, noe som er ekvivalent med vekten av det væskevolum som fortrenges av legemet.

Noen gjenstander flyter i vann, noen synker og noen delvis under vann. For å synke en strandkule er det nødvendig å gjøre en innsats, fordi straks oppfattes den kraften som prøver å føre den tilbake til overflaten. I stedet synker en metallkule raskt.

Figur 1. Flytende ballonger: Archimedes 'prinsipp i aksjon. Kilde: Pixabay.

På den annen side virker neddykkede gjenstander lettere, derfor er det en kraft som utøves av væsken som motvirker vekten. Men det kan ikke alltid kompensere for tyngdekraften helt. Selv om det er tydeligere med vann, er gasser også i stand til å produsere denne styrken på gjenstander fordypet i dem.

Historie

Archimedes of Syracuse (287-212 f.Kr.) var den som må ha oppdaget dette prinsippet, og var en av de største forskerne i historien. De forteller at kong Hiero II av Syracuse beordret en gullsmed til å lage en ny krone til ham, som han ga ham en viss mengde gull for.

Archimedes

Da kongen mottok den nye kronen, var det riktig vekt, men han mistenkte at gullsmeden hadde lurt ham ved å legge sølv i stedet for gull. Hvordan kunne han bevise det uten å ødelegge kronen?

Hiero kalte Archimedes, hvis rykte som stipendiat var godt kjent, for å hjelpe ham med å løse problemet. Sagnet sier at Archimedes var nedsenket i badekaret da han fant svaret, og slik var følelsene hans, at han løp naken gjennom gatene i Syracuse for å søke etter kongen, og ropte "eureka", som betyr "jeg fant ham".

Hva fant Archimedes? Vel, når du tar et bad, steg vannstanden i badekaret da han kom inn, noe som betyr at en nedsenket kropp fortrenger et visst volum væske.

Og hvis han senket kronen i vann, måtte denne også fortrenge et visst volum vann hvis kronen var laget av gull og en annen hvis den var laget av legering med sølv.

Formel

Løftekraften som er referert til av Archimedes 'prinsipp er kjent som den hydrostatiske skyvekraften eller den flytende kraften, og som vi har sagt tilsvarer den vekten til væskevolumet som forskyves av kroppen når det er nedsenket.

Det fortrengte volumet er lik volumet til gjenstanden som er nedsenket, enten helt eller delvis. Siden vekten til noe er mg, og væskens masse er tetthet x volum, som angir størrelsen på skyvet som B, har vi matematisk:

B = m _væske xg = tetthet av væske x Neddykket volum x tyngdekraft

B = ρ _væske x V _nedsenket xg

Hvor den greske bokstaven ρ ("rho") angir tetthet.

Tilsynelatende vekt

Vekten av objekter beregnes ved å bruke det kjente mg-uttrykket, men ting føles lettere når de er nedsenket i vann.

Den tilsynelatende vekten til en gjenstand er hva den har når den er nedsenket i vann eller en annen væske, og når du vet om det, kan volumet av en uregelmessig gjenstand som kronen til kong Hiero oppnås, som det vil sees nedenfor.

For å gjøre dette er den helt nedsenket i vann og festet til en streng festet til et dynamometer - et instrument utstyrt med en fjær som brukes til å måle krefter. Jo større gjenstandens vekt er, jo større er fjærens forlengelse, som måles i en skala som er anordnet i apparatet.

Figur 2. Tilsynelatende vekt på et nedsenket objekt. Kilde: utarbeidet av F. Zapata.

Bruke Newtons andre lov, vel vitende om at gjenstanden er i ro:

ΣF _y = B + T - W = 0

Den tilsynelatende vekten W _a tilsvarer spenningen i strengen T:

Siden skyvekraften kompenserer for vekten, siden fluidpartiet er i ro, så:

Fra dette uttrykket følger det at skyvekraften skyldes trykkforskjellen mellom toppflaten til sylinderen og den nedre flaten. Siden W = mg = ρ væske. V. g, det må:

Noe som nettopp er uttrykket for skyvekraften nevnt i forrige avsnitt.

applikasjoner

Archimedes 'prinsipp vises i mange praktiske anvendelser, blant hvilke vi kan navngi:

- Den aerostatiske ballongen. Som på grunn av sin gjennomsnittlige tetthet mindre enn luften i omgivelsene, flyter i den på grunn av skyvekraften.

- Skipene. Skrogens skrog er tyngre enn vann. Men hvis hele skroget pluss luften inni blir vurdert, er forholdet mellom den totale massen og volumet mindre enn vannet, og det er grunnen til at skip flyter.

- Redningsvester. Når de er konstruert av lette og porøse materialer, kan de flyte fordi forholdet mellom masse og volum er lavere enn vann.

- Flyteren for å lukke fyllkranen til en vanntank. Det er en luftfylt kule med stort volum som flyter på toppen av vannet, noe som får skyvekraften - multiplisert med spakeffekten - til å lukke hetten til vannkranen på vann når den har nådd nivået. Total.

eksempler

Eksempel 1

Legenden forteller at kong Hiero ga gullsmeden en viss mengde gull for å lage en krone, men den mistrofulle monarken trodde at gullsmeden kan ha jukset ved å plassere et metall som var mindre verdt enn gull inne i kronen. Men hvordan kunne han vite det uten å ødelegge kronen?

Kongen overlot problemet til Archimedes, og dette, etter løsningen, oppdaget hans berømte prinsipp.

Anta at koronaen veier 2,10 kg-f i luft og 1,95 kg-f når den er helt nedsenket i vann. Er det i dette tilfellet, eller er det ikke noe bedrag?

Figur 5. Frigroppsdiagram over kong Herons krone. Kilde: utarbeidet av F. Zapata

Diagrammet over kreftene er vist på figuren over. Disse kreftene er: vekten P på kronen, skyven E og spenningen T på tauet som henger fra skalaen.

Det er kjent P = 2,10 kg-f og T = 1,95 kg-f, det gjenstår å bestemme størrelsen på trykk E :

På den annen side, i samsvar med Archimedes ’prinsipp, tilsvarer skyvekraft E E vekten av vannet fortrengt fra det rommet som kronen okkuperer, det vil si at tettheten av vannet ganger volumet av kronen på grunn av tyngdesakelerasjonen:

Fra hvor volumet av kronen kan beregnes:

Kronens tetthet er kvotienten mellom massen av kronen ut av vannet og dens volum:

Tettheten av rent gull kan bestemmes ved en lignende prosedyre, og resultatet er 19300 kg / m ^ 3.

Sammenlignet de to tetthetene er det tydelig at kronen ikke er rent gull!

Eksempel 2

Basert på dataene og resultatet fra eksempel 1, er det mulig å bestemme hvor mye gull som ble stjålet av gullsmeden i tilfelle at en del av gullet er erstattet av sølv, som har en tetthet på 10 500 kg / m ^ 3.

Vi vil kalle tettheten til kronen ρc, ρo tettheten av gull og ρ _p tettheten av sølv.

Kronens totale masse er:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Det totale volumet av kronen er volumet av sølv pluss volumet av gull:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Å erstatte ligningen for massen er:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

Det vil si at volumet av gull Vo som inneholder kronen på det totale volumet V er:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) = …

… = 0,00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3

For å finne vekten i gull som kronen inneholder, multipliserer vi Vo med tettheten av gullet:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Siden massen på kronen er 2,10 kg, vet vi at 0,94858 kg gull ble stjålet av gullsmeden og erstattet av sølv.

Løste øvelser

Oppgave 1

En enorm heliumballong er i stand til å holde en person i balanse (uten å gå opp eller ned).

Anta at vekten til personen, pluss kurven, tauene og ballongen er 70 kg. Hva er volumet av helium som kreves for at dette skal skje? Hvor stor skal ballongen være?

Løsning

Vi vil anta at skyvekraften hovedsakelig produseres av volumet av helium og at skyvekraften til resten av komponentene er veldig liten sammenlignet med heliumvolumet, som opptar mye mer volum.

I dette tilfellet vil det kreve et volum helium som er i stand til å tilveiebringe en skyvekraft på 70 kg + vekten av helium.

Figur 6. Frigroppsdiagram over den heliumfylte ballongen. Kilde: utarbeidet av F. Zapata.

Thrust er produktet av volumet av helium ganger tettheten av helium og akselerasjonen av tyngdekraften. Trykket må utligne vekten på helium pluss vekten til alt det andre.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

som det konkluderes med at V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Det vil si at 65,4 m ^ 3 helium kreves ved atmosfæretrykk for at det skal være løft.

Hvis vi antar en sfærisk klode, kan vi finne dens radius fra forholdet mellom volumet og radiusen til en sfære:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Derfra er R = 2,49 moh. Med andre ord, det vil kreve en ballong med en diameter på 5 m fylt med helium.

Oppgave 2

Materialer med lavere tetthet enn vann flyter i det. Anta at du har isopor (hvit kork), tre og isbiter. Deres tetthet i kg per kubikkmeter er henholdsvis: 20, 450 og 915.

Finn hvilken brøkdel av det totale volumet som er utenfor vannet, og hvor høyt det står over overflaten av vannet, og tar 1000 kilo per kubikk som densiteten til sistnevnte.

Løsning

Oppdrift oppstår når kroppens vekt tilsvarer drivkraften på grunn av vannet:

E = M⋅g

Figur 7. Frikroppsdiagram over en delvis nedsenket gjenstand. Kilde: utarbeidet av F. Zapata.

Vekt er tettheten av kroppen D multiplisert med dens volum V og med akselerasjonen av tyngdekraften g.

Støtkraften er vekten av væsken som er forskjøvet i henhold til Archimedes 'prinsipp og beregnes ved å multiplisere tettheten D av vannet med det nedsenkede volumet V' og med tyngdesakelerasjonen.

Det er:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Noe som betyr at den nedsenkede volumfraksjonen er lik kvoten mellom tettheten av kroppen og tettheten av vannet.

Det vil si at den enestående volumfraksjonen (V '' / V) er

Hvis h er overhengshøyden og L siden av kuben, kan volumfraksjonen skrives som

Så resultatene for de bestilte materialene er:

Polystyren (hvit kork):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (DC / D) = 1- (20/1000) = 98% ut av vannet

Tre:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (DC / D) = 1- (450/1000) = 55% ut av vannet

Is:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (DC / D) = 1- (915/1000) = 8,5% ut av vannet

referanser

1. Bauer, W. 2011. Fysikk for ingeniørvitenskap og vitenskap. Bind 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Fluid Mechanics. Grunnleggende og applikasjoner. Første utgave. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Volum 4. Væsker og termodynamikk. Redigert av Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Mekanikk av væsker og hydraulikk. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Physics: Concepts and Applications. 7. utgave. McGraw Hill.