MULTIPLIKASJONSPRINSIPP: TELLETEKNIKKER OG EKSEMPLER - MATTE - 2026

Det multiplikative prinsipp er en teknikk som brukes til å løse telle problemer med å finne den løsning uten å vise dens elementer. Det er også kjent som det grunnleggende prinsippet om kombinatorisk analyse; det er basert på påfølgende multiplikasjon for å bestemme hvordan en hendelse kan oppstå.

Dette prinsippet sier at hvis en beslutning (d ₁ ) kan tas på n måter og en annen beslutning (d ₂ ) kan tas på m måter, vil det totale antall måter beslutninger d ₁ og d ₂ kan treffes være like å formere seg fra n _* m. I henhold til prinsippet blir hver beslutning tatt etter hverandre: antall måter = N _{1 *} N ₂ … _* N _x måter.

eksempler

Eksempel 1

Paula planlegger å gå på kino med vennene sine, og å velge klærne hun skal ha, skiller jeg 3 bluser og 2 skjørt. Hvor mange måter kan Paula kle seg på?

Løsning

I dette tilfellet må Paula ta to avgjørelser:

d ₁ = Velg mellom 3 bluser = n

d ₂ = Velg mellom 2 skjørt = m

På den måten har Paula n _* m beslutninger om å ta eller forskjellige måter å kle seg på.

n _* m = 3 _* 2 = 6 avgjørelser.

Multiplikasjonsprinsippet stammer fra trediagrammeteknikken, som er et diagram som relaterer alle mulige utfall, slik at hver enkelt kan oppstå et begrenset antall ganger.

Eksempel 2

Mario var veldig tørst, så han dro til bakeriet for å kjøpe juice. Luis tar seg av ham og forteller ham at den kommer i to størrelser: store og små; og fire smaker: eple, appelsin, sitron og drue. Hvor mange måter kan Mario velge juice?

Løsning

I diagrammet kan det sees at Mario har 8 forskjellige måter å velge saften på, og at dette resultatet, som i multiplikasjonsprinsippet, oppnås ved å multiplisere n _* m. Den eneste forskjellen er at du gjennom dette diagrammet kan se hvordan måtene Mario velger juicen er på.

På den annen side, når antall mulige utfall er veldig stort, er det mer praktisk å bruke multiplikasjonsprinsippet.

Telleteknikker

Telleteknikker er metoder som brukes til å foreta en direkte telling, og dermed vite antallet mulige arrangementer som elementene i et gitt sett kan ha. Disse teknikkene er basert på flere prinsipper:

Tilleggsprinsipp

Dette prinsippet sier at hvis to hendelser m og n ikke kan forekomme samtidig, vil antallet måter den første eller andre hendelsen kan oppstå være summen av m + n:

Antall figurer = m + n… + x forskjellige former.

Eksempel

Antonio vil ta en tur, men bestemmer ikke hvilken destinasjon; på Southern Tourism Agency tilbyr de deg en kampanje for å reise til New York eller Las Vegas, mens Eastern Tourism Agency anbefaler å reise til Frankrike, Italia eller Spania. Hvor mange forskjellige reisealternativer tilbyr Antonio deg?

Løsning

Med det sørlige turistbyrået har Antonio to alternativer (New York eller Las Vegas), mens han med det østlige turistbyrået har 3 alternativer (Frankrike, Italia eller Spania). Antall forskjellige alternativer er:

Antall alternativer = m + n = 2 + 3 = 5 alternativer.

Permutasjonsprinsipp

Det handler om å spesifikt bestille alle eller noen av elementene som utgjør et sett, for å lette tellingen av alle mulige arrangementer som kan gjøres med elementene.

Antall permutasjoner av n forskjellige elementer, tatt på en gang, er representert som:

_n P _n = n!

Eksempel

Fire venner ønsker å ta et bilde og vil vite hvor mange forskjellige måter de kan ordnes på.

Løsning

Du vil vite settet med alle mulige måter de 4 personene kan plasseres til å ta bildet. Dermed må du:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 forskjellige former.

Hvis antall permutasjoner av n tilgjengelige elementer blir tatt av deler av et sett som består av r-elementer, blir det representert som:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Eksempel

I et klasserom er det 10 seter. Hvis 4 elever deltar i klassen, på hvor mange forskjellige måter kan elevene fylle stillingene?

Løsning

Vi har at det totale antallet stolesett er 10, og av disse bare vil bli brukt 4. Den gitte formelen brukes for å bestemme antall permutasjoner:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 måter å fylle stillingene på.

Det er tilfeller hvor noen av de tilgjengelige elementene i et sett blir gjentatt (de er de samme). For å beregne antall matriser som tar alle elementene samtidig, brukes følgende formel:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Eksempel

Hvor mange forskjellige firbokstavord kan dannes fra ordet "ulv"?

Løsning

I dette tilfellet er det 4 elementer (bokstaver), hvor to av dem er nøyaktig like. Ved å bruke den gitte formelen, er det kjent hvor mange forskjellige ord som resulterer:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 forskjellige ord.

Kombinasjonsprinsipp

Det handler om å arrangere alle eller noen av elementene som utgjør et sett uten en bestemt rekkefølge. For eksempel, hvis du har en XYZ-ordning, vil den være identisk med ZXY, YZX, ZYX-ordningene, blant andre; dette fordi elementene i hvert arrangement til tross for at de ikke er i samme rekkefølge, er de samme.

Når noen elementer (r) er hentet fra settet (n), gis prinsippet om kombinasjon med følgende formel:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Eksempel

I en butikk selger de 5 forskjellige typer sjokolade. Hvor mange forskjellige måter kan man velge 4 sjokolader?

Løsning

I dette tilfellet må 4 sjokolader velges fra de 5 typene de selger i butikken. Rekkefølgen de blir valgt spiller ingen rolle, og i tillegg kan en type sjokolade velges mer enn to ganger. Bruker du formelen, må du:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 forskjellige måter å velge 4 sjokolader på.

Når alle elementene (r) i settet (n) er tatt, blir kombinasjonsprinsippet gitt med følgende formel:

_n C _{n =} n!

Løste øvelser

Oppgave 1

Det er et baseballlag med 14 medlemmer. På hvor mange måter kan det tildeles 5 stillinger for et spill?

Løsning

Settet består av 14 elementer, og du vil tilordne 5 spesifikke stillinger; det vil si orden. Permutasjonsformelen brukes der n tilgjengelige elementer blir tatt av deler av et sett som er dannet av r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Hvor n = 14 og r = 5. Det er substituert med formelen:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 måter å tildele de 9 spillposisjonene.

Oppgave 2

Hvis en familie på 9 reiser på tur og kjøper billettene med seter på rad, hvor mange forskjellige måter kan de sette seg ned?

Løsning

Det dreier seg om 9 elementer som vil innta 9 seter fortløpende.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 forskjellige måter å sitte på.

referanser

1. Hopkins, B. (2009). Ressurser for undervisning i diskret matematikk: klasseromsprosjekter, historiemoduler og artikler.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskret matematikk. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Endelig og diskret matematikkproblemløser. Research & Education Association Editors.
4. Padró, FC (2001). Diskret matematikk. Politec. av Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Matematikk for anvendte vitenskaper. Reverte.