- Egenskaper
- Generell regel om multiplikasjon
- Eksempler på betinget sannsynlighet
- - Eksempel 1
- Beredskapstabell
- - Eksempel 2
- Trening løst
- Løsning på
- Løsning b
- Løsning c
- referanser
Den betingede sannsynligheten er muligheten for forekomst av en viss hendelse, gitt at en annen oppstår som en tilstand. Denne tilleggsinformasjonen kan (eller kanskje ikke) endre oppfatningen om at noe vil skje.
For eksempel kan vi spørre oss selv: "Hva er sannsynligheten for at det regner i dag, gitt at det ikke har regnet på to dager?" Hendelsen som vi ønsker å vite sannsynligheten for, er at det regner i dag, og den tilleggsinformasjonen som vil forutse svaret er at "det har ikke regnet på to dager."
Figur 1. Sannsynligheten for at det regner i dag gitt at det regnet i går er også et eksempel på betinget sannsynlighet. Kilde: Pixabay.
La et sannsynlighetsrom være sammensatt av Ω (prøveplass), ℬ (tilfeldige hendelser) og P (sannsynligheten for hver hendelse), pluss hendelsene A og B som tilhører ℬ.
Den betingede sannsynligheten for at A oppstår, gitt at B skjedde, som er betegnet som P (A│B), er definert som følger:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A og B) / P (B)
Hvor: P (A) er sannsynligheten for forekomst av A, P (B) er sannsynligheten for hendelse B og er forskjellig fra 0, og P (A∩B) er sannsynligheten for krysset mellom A og B, det vil si , sannsynligheten for at begge hendelser oppstår (felles sannsynlighet).
Dette er et uttrykk for Bayes teorem anvendt på to hendelser, foreslått i 1763 av den engelske teologen og matematikeren Thomas Bayes.
Egenskaper
-All betinget sannsynlighet er mellom 0 og 1:
0 ≤ P (A│B) ≤ 1
-Sannsynligheten for at hendelse A inntreffer, gitt at nevnte hendelse inntreffer, er åpenbart 1:
P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1
-Hvis to hendelser er eksklusive, det vil si hendelser som ikke kan skje samtidig, er den betingede sannsynligheten for at en av dem skjer 0, siden krysset er null:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0
-Hvis B er en undergruppe av A, er betinget sannsynlighet også 1:
P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1
Viktig
P (A│B) er generelt ikke lik P (B│A), derfor må vi være forsiktige med ikke å utveksle hendelsene når vi finner den betingede sannsynligheten.
Generell regel om multiplikasjon
Mange ganger vil du finne leddsannsynligheten P (A∩B), i stedet for den betingede sannsynligheten. Deretter har vi gjennom følgende teorem:
P (A∩B) = P (A og B) = P (A│B). P (B)
Teoremet kan utvides for tre arrangementer A, B og C:
P (A∩B∩C) = P (A og B og C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)
Og også for forskjellige hendelser, som A 1 , A 2 , A 3 og mer, kan det uttrykkes som følger:
P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 … ∩ A n ) = P (A 1 ). P (A 2 │A 1 ). P (A 3 │A 1 ∩ A 2 ) … P (A n ││A 1 ∩ A 2 ∩ … A n-1 )
Når det er tilfelle av hendelser som oppstår i sekvens og gjennom forskjellige stadier, er det praktisk å organisere dataene i et diagram eller en tabell. Dette gjør det lettere å visualisere alternativene for å nå den ønskede sannsynligheten.
Eksempler er treskjemaet og beredskapstabellen. Fra en av dem kan du bygge den andre.
Eksempler på betinget sannsynlighet
La oss se på noen situasjoner der sannsynlighetene for en hendelse blir endret av forekomsten av en annen:
- Eksempel 1
To typer kaker selges i en søt butikk: jordbær og sjokolade. Ved å registrere preferansene til 50 klienter av begge kjønn, ble følgende verdier bestemt:
-27 kvinner, hvorav 11 foretrekker jordbærkake og 16 sjokolade.
-23 menn: 15 velger sjokolade og 8 jordbær.
Sannsynligheten for at en kunde velger en sjokoladekake kan bestemmes ved å anvende Laplaces regel, i henhold til hvilken sannsynligheten for en hvilken som helst hendelse er:
P = antall gunstige hendelser / totalt antall arrangementer
I dette tilfellet, av 50 kunder foretrekker totalt 31 sjokolade, så sannsynligheten vil være P = 31/50 = 0,62. Det vil si at 62% av kundene foretrekker sjokoladekake.
Men ville det være annerledes hvis klienten er en kvinne? Dette er et tilfelle av betinget sannsynlighet.
Beredskapstabell
Ved å bruke en beredskapstabel som dette, vises totalene enkelt:
Da blir de gunstige tilfellene observert og Laplaces regel blir brukt, men først definerer vi hendelsene:
-B er den "kvinnelige kunden" hendelsen.
-En er begivenheten "foretrekker sjokoladekake" som kvinne.
Vi går til spalten merket "kvinner", og der ser vi at totalen er 27.
Da blir den gunstige saken søkt i "sjokolade" raden. Det er 16 av disse hendelsene, og derfor er sannsynligheten direkte:
P (A│B) = 16/27 = 0,5924
59,24% av kvinnelige kunder foretrekker sjokoladekake.
Denne verdien samsvarer med når vi kontrasterer den med den opprinnelig gitte definisjonen av betinget sannsynlighet:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B)
Vi sørger for å bruke Laplaces regel og tabellverdiene:
P (B) = 27/50
P (A og B) = 16/50
Hvor P (A og B) er sannsynligheten for at kunden foretrekker sjokolade og er kvinne. Nå er verdiene erstattet:
P (A│B) = P (A og B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924.
Og det er bevist at resultatet er det samme.
- Eksempel 2
I dette eksemplet gjelder regelen om multiplikasjon. Anta at det er bukser i tre størrelser som vises i en butikk: liten, mellomstor og stor.
I mye med til sammen 24 bukser, hvorav det er 8 i hver størrelse og alle er blandet, hva er sannsynligheten for å trekke ut to av dem og at de begge var små?
Det er tydelig at sannsynligheten for å fjerne en liten bukse ved første forsøk er 8/24 = 1/3. Nå er den andre ekstraksjonen betinget av den første hendelsen, siden når du fjerner et par bukser, er det ikke lenger 24, men 23. Og hvis en liten bukse blir fjernet, er det 7 i stedet for 8.
Hendelse A trekker en liten bukse, etter å ha trukket en annen på første forsøk. Og arrangement B er den med småbuksene første gang. Og dermed:
P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24
Til slutt bruker du multiplikasjonsregelen:
P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097
Trening løst
I en studie av punktlighet på kommersielle flyreiser er følgende data tilgjengelig:
-P (B) = 0,83, er sannsynligheten for at et fly tar av i tide.
-P (A) = 0,81, er sannsynligheten for å lande i tide.
-P (B∩A) = 0,78 er sannsynligheten for at flyreisen kommer frem til tiden tar av i tide.
Det blir bedt om å beregne:
a) Hva er sannsynligheten for at flyet vil lande i tide gitt at det tok fart i tide?
b) Er ovennevnte sannsynlighet den samme som sannsynligheten for at du forlot i tide hvis du klarte å lande i tide?
c) Og til slutt: hva er sannsynligheten for at den vil komme i tide gitt at den ikke forlot i tide?
Figur 2. Punktlighet på kommersielle flyreiser er viktig, siden forsinkelser gir millioner av dollar i tap. Kilde: Pixabay.
Løsning på
For å svare på spørsmålet brukes definisjonen av betinget sannsynlighet:
P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A og B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398
Løsning b
I dette tilfellet blir hendelsene i definisjonen utvekslet:
P (BAA) = P (A∩B) / P (A) = P (A og B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630
Merk at denne sannsynligheten er litt forskjellig fra den forrige, som vi påpekte tidligere.
Løsning c
Sannsynligheten for ikke å forlate i tide er 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, vi vil kalle det P (B C ), fordi det er den komplementære hendelsen å ta av i tid. Den betingede sannsynligheten som søkes er:
P (A│B C ) = P (A∩B C ) / P (B C ) = P (A og B C ) / P (B C )
På den andre siden:
P (A∩B C ) = P (lander på tid) - P (lander i tide og tar av i tide) = 0,81-0,78 = 0,03
I dette tilfellet er den betingede sannsynligheten som søkes:
P (A│B C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765
referanser
- Canavos, G. 1988. Probability and Statistics: Applications and Methods. McGraw Hill.
- Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. Åttende. Edition. Cengage.
- Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
- Obregón, I. 1989. Teorien om sannsynlighet. Redaksjonell Limusa.
- Walpole, R. 2007. Probability and Statistics for Engineering and Sciences. Pearson.
- Wikipedia. Betinget sannsynlighet. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.