TEORETISK SANNSYNLIGHET: HVORDAN FÅ TAK I DET, EKSEMPLER, ØVELSER - DUDAS - 2026

Den teoretiske (eller Laplace) sannsynligheten for at en hendelse E oppstår som tilhører et prøveområde S, der alle hendelser har samme sannsynlighet for forekomst, er definert i matematisk notasjon som: P (E) = n (E) / N (S)

Hvor P (E) er sannsynligheten, gitt som kvotienten mellom det totale antall mulige utfall av hendelse E, som vi kaller n (E), delt med det totale antallet N (S) av mulige utfall i prøveområdet S.

Figur 1. I en kaste av en sekssidet dyse er den teoretiske sannsynligheten for at det treprikkede hodet er på toppen ⅙. Kilde: Pixabay.

Den teoretiske sannsynligheten er et reelt tall mellom 0 og 1, men uttrykkes ofte i prosent, i så fall vil sannsynligheten være en verdi mellom 0% og 100%.

Det er veldig viktig å beregne sannsynligheten for at en hendelse skal skje på mange felt, som handel, forsikringsselskaper, pengespill og mange flere.

Hvordan få den teoretiske sannsynligheten?

En illustrerende sak er tilfelle av tombolaer eller lotterier. Anta at det utstedes 1000 billetter for å tombola en smarttelefon. Ettersom tegningen gjøres tilfeldig, har noen av billettene en like stor sjanse til å bli en vinner.

For å finne sannsynligheten for at en person som kjøper en billett med tallet 81 er en vinner, utføres følgende teoretiske sannsynlighetsberegning:

P (1) = 1/1 000 = 0,001 = 0,1%

Ovennevnte resultat blir tolket slik: hvis loddtrekningen ble gjentatt uendelig mange ganger, ville hver 1000 ganger billett 81 blitt valgt, i gjennomsnitt en gang.

Hvis noen av noen grunn skaffer seg alle billettene, er det sikkert at de vinner prisen. Sannsynligheten for å vinne premien hvis du har alle billettene beregnes som følger:

P (1 000) = 1 000/1 000 = 1 = 100%.

Det vil si at sannsynligheten 1 eller 100% betyr at det er helt sikkert at dette resultatet vil skje.

Hvis noen eier 500 billetter, er sjansene for å vinne eller tape de samme. Den teoretiske sannsynligheten for å vinne prisen i dette tilfellet beregnes som følger:

P (500) = 500/1000 = ½ = 0,5 = 50%.

Han som ikke kjøper noen billett har ingen sjanse til å vinne, og hans teoretiske sannsynlighet blir bestemt som følger:

P (0) = 0/1000 = 0 = 0%

eksempler

Eksempel 1

Du har en mynt med ansiktet på den ene siden og et skjold eller forsegling på den andre. Når mynten kastes, hva er den teoretiske sannsynligheten for at den kommer oppover?

P (ansikt) = n (ansikt) / N (ansikt + skjold) = ½ = 0,5 = 50%

Resultatet tolkes som følger: hvis det ble foretatt et stort antall kaster, ville i gjennomsnitt i hver 2 kast kastet en av dem.

I prosentvis uttrykk er tolkningen av resultatet at ved å lage et uendelig stort antall kast, vil gjennomsnittlig av 100 av dem 50 resultere i hoder.

Eksempel 2

I en boks er det 3 blå klinkekuler, 2 røde kuler og 1 grønn. Hva er den teoretiske sannsynligheten for at når du tar en marmor ut av esken, vil den være rød?

Figur 2. Sannsynlighet for utvinning av fargede kuler. Kilde: F. Zapata.

Sannsynligheten for at det kommer ut rødt er:

P (rød) = Antall gunstige saker / Antall mulige saker

Det er å si:

P (rød) = Antall røde kuler / Totalt antall kuler

Endelig er sannsynligheten for at det trekkes en rød marmor:

P (rød) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Mens sannsynligheten for at når du tegner en grønn marmor er:

P (grønn) = ⅙ = 0,16666 = 16,66%

Til slutt er den teoretiske sannsynligheten for å få en blå marmor i en blindekstraksjon:

P (blå) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Det vil si at for hvert 2. forsøk vil resultatet bli blått i en av dem og en annen farge i et annet forsøk, under forutsetning at den ekstraherte marmoren er erstattet og at antall forsøk er veldig, veldig stort.

Øvelser

Oppgave 1

Bestem sannsynligheten for at rulling av en dyse vil oppnå en verdi mindre enn eller lik 4.

Løsning

For å beregne sannsynligheten for at denne hendelsen skal skje, vil definisjonen av teoretisk sannsynlighet bli brukt:

P (≤4) = Antall gunstige saker / Antall mulige saker

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Oppgave 2

Finn sannsynligheten for at 5 på to påfølgende kaster av en vanlig seks-sidig dyse, 5 vil rulle 2 ganger.

Løsning

For å svare på denne øvelsen, lag en tabell for å vise alle mulighetene. Det første sifferet indikerer resultatet av den første matrisen og det andre resultatet av den andre.

For å beregne den teoretiske sannsynligheten vi trenger å vite det totale antall mulige tilfeller, i dette tilfellet, som det kan sees fra forrige tabell, er det 36 muligheter.

Ved å observere tabellen trekkes det frem at antallet tilfeller som er gunstige for hendelsen som i de to påfølgende lanseringene kommer ut 5 bare er 1, fremhevet med farge, og derfor er sannsynligheten for at denne hendelsen er:

P (5 x 5) = 1/36.

Dette resultatet kunne også ha kommet til å bruke en av egenskapene til teoretisk sannsynlighet, som sier at den kombinerte sannsynligheten for to uavhengige hendelser er produktet av deres individuelle sannsynligheter.

I dette tilfellet er sannsynligheten for at den første kasten ruller 5 ⅙. Det andre kastet er helt uavhengig av det første, derfor er sannsynligheten for at 5 rulles i den andre også ⅙. Så den samlede sannsynligheten er:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Oppgave 3

Finn sannsynligheten for at et nummer mindre enn 2 rulles ved den første kastet, og at et tall større enn 2 blir rullet på den andre.

Løsning

Igjen må det bygges en tabell over mulige hendelser, der de der det første kastet var mindre enn 2 og i det andre større enn 2 er understreket.

Totalt er det 4 muligheter av totalt 36. Det vil si sannsynligheten for denne hendelsen er:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11.11%

Bruke sannsynlighetsteoremet som sier:

Samme resultat oppnås:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 = 11.11%

Verdien oppnådd med denne prosedyren sammenfaller med det forrige resultatet ved hjelp av den teoretiske eller klassiske definisjonen av sannsynlighet.

Oppgave 4

Hva er sannsynligheten for at summen av verdiene når du ruller to terninger er 7.

Løsning

For å finne løsningen i dette tilfellet er det utarbeidet en tabell over muligheter der tilfellene som oppfyller betingelsen om at summen av verdiene er 7 er angitt i farge.

Ser du på tabellen, kan 6 mulige tilfeller telles, så sannsynligheten er:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

referanser

1. Canavos, G. 1988. Probability and Statistics: Applications and Methods. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. Åttende. Edition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorien om sannsynlighet. Redaksjonell Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probability and Statistics for Engineering and Sciences. Pearson.