KORSPRODUKT: EGENSKAPER, APPLIKASJONER OG ØVELSER - MATTE - 2026

Den kryssproduktet eller vektor produkt er en måte å legge sammen to eller flere vektorer. Det er tre måter å multiplisere vektorer, men ingen av disse er multiplikasjon i ordets vanlige forstand. En av disse formene er kjent som et vektorprodukt, noe som resulterer i en tredje vektor.

Korsproduktet, som også kalles korsproduktet eller ytre produkt, har forskjellige algebraiske og geometriske egenskaper. Disse egenskapene er veldig nyttige, spesielt når det gjelder studier av fysikk.

Definisjon

En formell definisjon av vektorproduktet er følgende: Hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3) er vektorer, er vektorproduktet til A og B, som vi vil betegne som AxB,:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

På grunn av AxB-notasjonen blir den lest som "A cross B".

Et eksempel på hvordan du bruker det ytre produktet er at hvis A = (1, 2, 3) og B = (3, -2, 4) er vektorer, så bruker vi definisjonen av et vektorprodukt vi har:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

En annen måte å uttrykke vektorproduktet er gitt ved notasjonen av determinanter.

Beregningen av en andreordens determinant er gitt av:

Derfor kan formelen for kryssproduktet gitt i definisjonen skrives om som følger:

Dette er vanligvis forenklet til en tredje-ordens determinant som følger:

Hvor i, j, k representerer vektorene som danner grunnlaget for R ³ .

Ved å bruke denne måten å uttrykke kryssproduktet, har vi at forrige eksempel kan skrives om som:

Egenskaper

Noen egenskaper som vektorproduktet har er følgende:

Eiendom 1

Hvis A er enhver vektor i R ³ , har vi:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Disse egenskapene er enkle å sjekke med bare definisjonen. Hvis A = (a1, a2, a3) har vi:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Hvis i, j, k representerer enheten base av R- ³ , kan vi skrive dem som følger:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Så vi har at følgende egenskaper er sanne:

Som en mnemonisk regel blir følgende sirkel ofte brukt for å huske disse egenskapene:

Der må vi merke oss at enhver vektor med seg selv gir vektor 0 som et resultat, og resten av produktene kan fås med følgende regel:

Kryssproduktet av to påfølgende vektorer i urviseren gir den neste vektoren; og når man tar i mot urviseren, er resultatet følgende vektor med et negativt tegn.

Takket være disse egenskapene kan vi se at vektorproduktet ikke er kommutativt; Bare legg merke til at ixj ≠ jx i. Følgende eiendom forteller oss hvordan AxB og BxA generelt er relatert.

Eiendom 2

Hvis A og B er vektorer av R ³ , har vi:

AxB = - (BxA).

Demonstrasjon

Hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3), har vi per definisjon av eksternt produkt:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Vi kan også se at dette produktet ikke er assosiert med følgende eksempel:

ix (ixj) = ixk = - j men (ixi) xj = 0xj = 0

Fra dette kan vi se at:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Eiendom 3

Dersom A, B, C er vektorer av R ³ og r er et reelt tall, skjer følgende:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Takket være disse egenskapene kan vi beregne vektorproduktet ved å bruke algebra-lovene, forutsatt at ordren blir overholdt. For eksempel:

Hvis A = (1, 2, 3) og B = (3, -2, 4), kan vi skrive dem i form av den kanoniske grunnlag av R- ³ .

Dermed A = i + 2j + 3k og B = 3i - 2j + 4k. Deretter bruker du de forrige egenskapene:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Eiendom 4 (triple dot produkt)

Som vi nevnte i begynnelsen, er det andre måter å multiplisere vektorer foruten vektorproduktet. En av disse måtene er skalarproduktet eller det indre produktet, som er betegnet som A ∙ B og hvis definisjon er:

Hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3), så vil A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Egenskapen som angår begge produktene er kjent som det tredobbelte skalareproduktet.

Dersom A, B, og C er vektorer av R- ³ , deretter A ∙ BxC = AxB ∙ C

La oss som et eksempel se at gitt denne funksjonen A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) og C = (- 5, 1, - 4).

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

På den andre siden:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Et annet trippelprodukt er Ax (BxC), som er kjent som trippelvektorproduktet.

Eiendom 5 (trippelvektorprodukt)

Hvis A, B og C er vektorer av R- ³ , deretter:

Aksel (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

La oss som et eksempel se at gitt denne funksjonen A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) og C = (- 5, 1, - 4).

Fra det forrige eksemplet vet vi at BxC = (- 18, - 22, 17). La oss beregne Ax (BxC):

Øks (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

På den annen side må vi:

A ∙C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Dermed må vi:

(A ∙C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Eiendom 6

Det er en av de geometriske egenskapene til vektorer. Hvis A og B er to vektorer i R ³ og Θ er vinkelen som dannes mellom dem, og deretter:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), der - ∙ - angir modulen eller størrelsen til en vektor.

Den geometriske tolkningen av denne egenskapen er som følger:

La A = PR og B = PQ. Så vinkelen dannet av vektorene A og B er vinkelen P i trekanten RQP, som vist i den følgende figuren.

Derfor er området til parallellogrammet som har PR og PQ som tilstøtende sider - A ---- B - sin (ϴ), siden vi kan ta --A-- som en base og dens høyde er gitt av --B - synd (ϴ).

Derfor kan vi konkludere med at --xB-- er området til nevnte parallellogram.

Eksempel

Gitt følgende vertekser av en firedoblet P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) og S (5,7, -3), viser at nevnte firkantede sider er et parallellogram og finn området.

For dette bestemmer vi først vektorene som bestemmer retningen på sidene på firkantet. Dette er:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Som vi kan se, har A og C den samme direktørvektoren, som vi har som begge er parallelle; det samme skjer med B og D. Derfor konkluderer vi at PQRS er et parallellogram.

For å ha arealet til dette parallellogrammet, beregner vi BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Derfor vil det kvadratiske området være:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Det kan konkluderes med at parallellogramområdet vil være kvadratroten på 89.

Eiendom 7

To vektorer A og B er parallelle i R ³ hvis og bare hvis x B = 0

Demonstrasjon

Det er tydelig at hvis A eller B er nullvektoren, blir det oppfylt at AxB = 0. Siden nullvektoren er parallell med en hvilken som helst annen vektor, er egenskapen gyldig.

Hvis ingen av de to vektorene er nullvektoren, har vi at størrelsesordenene deres er forskjellige fra null; det vil si både --A-- ≠ 0 og --B-- ≠ 0, så vi vil ha --AxB-- = 0 hvis og bare hvis synd (ϴ) = 0, og dette skjer hvis og bare hvis ϴ = π eller ϴ = 0.

Derfor kan vi konkludere AxB = 0 hvis og bare hvis ϴ = π eller ϴ = 0, noe som bare skjer når begge vektorene er parallelle med hverandre.

Eiendom 8

Hvis A og B er to vektorer i R- ³ , deretter AxB er vinkelrett på både A og B.

Demonstrasjon

For dette beviset, la oss huske at to vektorer er vinkelrett hvis A ∙ B er lik null. Videre vet vi at:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, men AxA er lik 0. Derfor har vi:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Med dette kan vi konkludere med at A og AxB er vinkelrett på hverandre. Analogt må vi:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Siden BxB = 0, har vi:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Derfor er AxB og B vinkelrett på hverandre, og med dette demonstreres eiendommen. Dette er veldig nyttig for oss, siden de tillater oss å bestemme ligningen til et plan.

Eksempel 1

Få en ligning av planet som går gjennom punktene P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) og R (2, 1, 3).

La A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) og B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Da er A = - i + 3j + k og B = i - 2j + k. For å finne planet dannet av disse tre punktene, er det nok å finne en vektor som er normal for planet, som er AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Med denne vektoren, og tar punktet P (1, 3, 2), kan vi bestemme ligningen på planet som følger:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Dermed har vi at ligningen til planet er 5x + 2y - z - 9 = 0.

Eksempel 2

Finn ligningen på planet som inneholder punktet P (4, 0, - 2) og som er vinkelrett på hvert av planene x - y + z = 0 og 2x + y - 4z - 5 = 0.

Når vi vet at en normal vektor til en planøks + med + cz + d = 0 er (a, b, c), har vi at (1, -1,1) er en normal vektor på x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) er en normal vektor på 2x + y - 4z - 5 = 0.

Derfor må en normal vektor til det søkt plan være vinkelrett på (1, -1,1) og (2, 1, - 4). Denne vektoren er:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Så har vi at det søkte planet er det som inneholder punktet P (4,0, - 2) og har vektoren (3,6,3) som en normal vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

applikasjoner

Beregning av volumet til en parallelepiped

En applikasjon som har det tredoble skalareproduktet er å kunne beregne volumet til en parallellpiped hvis kanter er gitt av vektorene A, B og C, som vist på figuren:

Vi kan utlede denne applikasjonen på følgende måte: som vi sa før, vektoren AxB er en vektor som er normal for planet til A og B. Vi har også at vektoren - (AxB) er en annen vektor som er normal for nevnte plan.

Vi velger den normale vektoren som danner den minste vinkelen med vektor C; Uten tap av generalitet, la AxB være vektoren hvis vinkel med C er den minste.

Vi har at både AxB og C har samme utgangspunkt. Videre vet vi at området til parallellogrammet som danner basen til parallellpiped er --xB--. Derfor, hvis høyden på parallelepiped er gitt av h, har vi at volumet vil være:

V = --AxB - h.

La oss derimot vurdere prikkproduktet mellom AxB og C, som kan beskrives som følger:

Imidlertid har vi ved trigonometriske egenskaper at h = --C - cos (ϴ), så vi har:

På denne måten har vi det:

Generelt sett har vi at volumet til en parallellpiped er gitt av den absolutte verdien av det tredoble skalæreproduktet AxB ∙ C.

Løste øvelser

Oppgave 1

Gitt punktene P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) og S = (2, 6, 9), danner disse punktene en parallellpiped hvis kanter de er PQ, PR og PS. Bestem volumet til nevnte parallellpiped.

Løsning

Hvis vi tar:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Ved bruk av trippel skalær produktegenskapen har vi:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Derfor har vi at volumet til nevnte parallelepiped er 52.

Oppgave 2

Bestem volumet til en parallellpiped hvis kanter er gitt med A = PQ, B = PR og C = PS, der punktene P, Q, R og S er (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) og (2, 2, 5).

Løsning

Først har vi at A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Vi beregner AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Så beregner vi AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Dermed konkluderer vi at volumet til nevnte parallelepiped er 1 kubikk enhet.

referanser

1. Leithold, L. (1992). Beregningen med analytisk geometri. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysikk Vol. 1. Mexico: Kontinentalt.
3. Saenz, J. (nd). Vector Calculus 1ed. Hypotenusen.
4. Spiegel, MR (2011). Vectorialanalyse 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Beregning av flere variabler 4ed. Mc Graw Hill.