VIKTIGE PRODUKTER: FORKLARING OG ØVELSER LØST - MATTE - 2026

De bemerkelsesverdige produktene er algebraiske operasjoner, der multiplikasjoner av polynomer uttrykkes, som ikke trenger å løses tradisjonelt, men ved hjelp av visse regler kan resultatene av det samme bli funnet.

Polynomer multipliseres med ja, derfor er det mulig at de har et stort antall begreper og variabler. For å gjøre prosessen kortere brukes de bemerkelsesverdige produktreglene, som tillater multiplikasjon uten å måtte gå term for termin.

Viktige produkter og eksempler

Hvert bemerkelsesverdig produkt er en formel som er resultatet av en faktorisering, som består av polynomer med flere betegnelser, for eksempel binomialer eller trinomialer, kalt faktorer.

Faktorer er basen til en makt og har en eksponent. Når faktorene multipliseres, må eksponentene legges til.

Det er flere bemerkelsesverdige produktformler, noen er mer brukt enn andre, avhengig av polynomer, og de er følgende:

Binomial kvadrat

Det er multiplikasjonen av en binomial av seg selv, uttrykt som en makt, der begrepene legges til eller trekkes fra:

til. Kvadratisk sum binomial: det er lik kvadratet for den første termin, pluss det dobbelte av produktet av begrepene, pluss kvadratet for den andre termen. Det uttrykkes som følger:

(a + b) ² = (a + b) _* (a + b).

I figuren nedenfor kan du se hvordan produktet utvikler seg i henhold til den nevnte regelen. Resultatet kalles trinomialet til et perfekt torg.

Eksempel 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Eksempel 2

(4a + 2b) = (4a) ² + 2 (4a _* 2b) + (2b) ²

(4a + 2b) = 8a ² + 2 (8ab) + 4b ²

(4a + 2b) = 8a ² + 16 ab + 4b ² .

b. Binomial av en kvadrat subtraksjon: samme regel for binomialen av en sum gjelder, bare i dette tilfellet er den andre termen negativ. Formelen er følgende:

(a - b) ² = ²

(a - b) ² = a ² + 2a _* (-b) + (-b) ²

(a - b) ² = a ² - 2ab + b ² .

Eksempel 1

(2x - 6) ² = (2x) ² - 2 (2x _* 6) + 6 ²

(2x - 6) ² = 4x ² - 2 (12x) + 36

(2x - 6) ² = 4x ² - 24x + 36.

Produkt av konjugerte binomialer

To binomialer er konjugert når de andre begrepene i hver har forskjellige tegn, det vil si at den første er positiv og den andre negativ eller omvendt. Det løses ved å kvadrere hver monomial og trekke fra. Formelen er følgende:

(a + b) _* (a - b)

I den følgende figuren er produktet fra to konjugerte binomialer utviklet, der det observeres at resultatet er en kvadratforskjell.

Eksempel 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b ² )

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² - 9b ² .

Produkt av to binomialer med en fellesbetegnelse

Det er et av de mest komplekse og sjelden brukte bemerkelsesverdige produktene, fordi det er en multiplikasjon av to binomialer som har en fellesbetegnelse. Regelen sier følgende:

• Kvadratet for fellesbetegnelsen.
• Pluss summen begrepene som ikke er vanlige, og multipliser dem deretter med fellesbetegnelsen.
• Pluss summen av multiplikasjonen av begrepene som ikke er vanlig.

Det er representert i formelen: (x + a) _* (x + b) og er utviklet som vist på bildet. Resultatet er en ikke-perfekt firkantet trinomial.

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + 15x + 54.

Det er en mulighet for at den andre termen (den forskjellige termen) er negativ og formelen er som følger: (x + a) _* (x - b).

Eksempel 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2) _* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + (2) _* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + 14x - 8.

Det kan også være slik at begge forskjellige begrep er negative. Formelen vil være: (x - a) _* (x - b).

Eksempel 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5) _* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² - 33b + 30.

Kvadratisk polynom

I dette tilfellet er det mer enn to begrep, og for å utvikle det blir hver firkant kvadratisk og lagt sammen med dobbelt multiplikasjon av ett begrep med et annet; dens formel er: (a + b + c) ^2, og resultatet av operasjonen er en kvadratisk trinom.

Eksempel 1

(3x + 2y + 4z) ² = (3x) ² + (2y) ² + (4z) ² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z) ² = 9x ² + 4y ² + 16z ² + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial kuber

Det er et bemerkelsesverdig sammensatt produkt. For å utvikle den multipliseres binomialen med kvadratet som følger:

til. For den binomiale kuben av en sum:

• Kuben til den første termin, pluss tredoblet kvadratet av den første termen ganger den andre.
• Pluss tredobling av første termin, ganger andre kvadrat.
• Pluss kuben til andre periode.

(a + b) ³ = (a + b) _* (a + b) ²

(a + b) ³ = (a + b) _* (a ² + 2ab + b ² )

(a + b) ³ = a ³ + 2a ² b + ab ² + ba ² + 2ab ² + b ³

(a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³ .

Eksempel 1

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (3) ² + (3) ³

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (9) + 27

(a + 3) ³ = a ³ + 9 a ² + 27a + 27.

b. For den binomiale kubben av en subtraksjon:

• Kuben til den første termin, minus tre ganger kvadratet av den første termen ganger den andre.
• Pluss tredobling av første termin, ganger andre kvadrat.
• Minus kuben til andre periode.

(a - b) ³ = (a - b) _* (a - b) ²

(a - b) ³ = (a - b) _* (a ² - 2ab + b ² )

(a - b) ³ = a ³ - 2a ² b + ab ² - ba ² + 2ab ² - b ³

(a - b) ³ = a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³ .

Eksempel 2

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (-5) ² + (-5) ³

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (25) -125

(b - 5) ³ = b ³ - 15b ² + 75b - 125.

Kuben av en trinomial

Den er utviklet ved å multiplisere den med kvadratet. Det er et veldig omfattende bemerkelsesverdig produkt fordi du har tre termer i kubikk, pluss tre ganger hvert begrep i kvadrat, multiplisert med hvert av begrepene, pluss seks ganger produktet av de tre begrepene. Sett på en bedre måte:

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a + b + c) ²

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a ² + b ² + c ² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c) ³ = a ³ + b ³ + c ³ + 3a ² b + 3ab ² + 3a ² c + 3ac ² + 3b ² c + 3bc ² + 6abc.

Eksempel 1

Løste øvelser av bemerkelsesverdige produkter

Oppgave 1

Utvid følgende binomiale kubikk: (4x - 6) ³ .

Løsning

Husk at en binomial kubikk er lik den første termen kubikk, minus tre ganger kvadratet for den første termen ganger den andre; pluss tredelen av den første termin, ganger den andre kvadratet, minus kuben til den andre termin.

(4x - 6) ³ = (4x) ³ - 3 (4x) ² (6) + 3 (4x) _* (6) ² - (6) ²

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 3 (16x ² ) (6) + 3 (4x) _* (36) - 36

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 288x ² + 432x - 36.

Oppgave 2

Utvikle følgende binomial: (x + 3) (x + 8).

Løsning

Det er en binomial der det er en fellesbetegnelse, som er x og den andre termen er positiv. For å utvikle det, trenger du bare å kvadratere det felles begrepet, pluss summen av begrepene som ikke er vanlige (3 og 8), og deretter multiplisere dem med det felles begrepet, pluss summen av multiplikasjonen av begrepene som ikke er vanlige.

(x + 3) (x + 8) = x ² + (3 + 8) x + (3 _* 8)

(x + 3) (x + 8) = x ² + 11x + 24.

referanser

1. Angel, AR (2007). Elementær algebra. Pearson Education,.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
3. Das, S. (nd). Maths Plus 8. Storbritannia: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementær og mellomliggende algebra: En kombinert tilnærming. Florida: Cengage Learning.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.