ASSOSIATIV EGENSKAP: TILLEGG, MULTIPLIKASJON, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2026

Den assosiative egenskapen for addisjon representerer den assosiative karakteren av tilleggsoperasjonen i forskjellige matematiske sett. I den er tre (eller flere) elementer i nevnte sett relatert, kalt a, b og c, slik at det alltid er sant:

a + (b + c) = (a + b) + c

På denne måten er det garantert at resultatet, uansett måte å gruppere seg for å utføre operasjonen, er det samme.

Figur 1. Vi bruker den tilknyttede egenskapen tilsetning mange ganger når vi gjør aritmetiske og algebraiske operasjoner. (Tegning: freepik Sammensetning: F. Zapata)

Men det skal bemerkes at den tilknyttede egenskapen ikke er synonymt med den kommutative egenskapen. Det vil si at vi vet at rekkefølgen på tilleggene ikke endrer summen eller at rekkefølgen på faktorene ikke endrer produktet. Så for summen kan det skrives slik: a + b = b + a.

I den tilknyttede egenskapen er det imidlertid annerledes, siden rekkefølgen på elementene som skal legges til opprettholdes og hvilke endringer er operasjonen som utføres først. Noe som betyr at å legge først (b + c) og legge til et til dette resultatet ikke betyr noe enn å begynne å legge til et med ved til resultatet legge til c.

Mange viktige operasjoner som tillegg er assosiative, men ikke alle. I subtraksjon av reelle tall hender det for eksempel at:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Hvis a = 2, b = 3, c = 1, så:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Assosiativ eiendom for multiplikasjon

Som det ble gjort for tillegg, sier den tilknyttede egenskapen til multiplikasjon at:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Når det gjelder settet med reelle tall, er det enkelt å bekrefte at dette alltid er tilfelle. For eksempel bruker vi verdiene a = 2, b = 3, c = 1, har vi:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Reelle tall oppfyller den assosiative egenskapen til både addisjon og multiplikasjon. På en annen side, i et annet sett, for eksempel vektorer, er summen assosiativ, men kryssproduktet eller vektorproduktet er det ikke.

Bruksområder for multipliseringen av den tilknyttede egenskapen

En fordel med operasjoner der den tilknyttede egenskapen er oppfylt, er å kunne gruppere på den mest praktiske måten. Dette gjør oppløsningen mye enklere.

Anta for eksempel at det i et lite bibliotek er 3 hyller med 5 hyller hver. I hver hylle er det 8 bøker. Hvor mange bøker er det i alt?

Vi kan utføre operasjonen slik: totale bøker = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 bøker.

Eller sånn: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 bøker.

Figur 2. En anvendelse av multiplikasjonens assosiative egenskap er å beregne antall bøker på hver hylle. Bilde opprettet av F. Zapata.

eksempler

-I sett med naturlige, heltall, rasjonelle, reelle og komplekse tall blir den assosiative egenskapen tilsetning og multiplikasjon oppfylt.

Figur 3. For reelle tall oppfylles den tilknyttede egenskapen til tilsetning. Kilde: Wikimedia Commons.

-For polynomer bruker de også i disse operasjonene.

-I tilfeller av subtraksjon, deling og eksponentisering, er ikke den tilknyttede egenskapen gjeldende for reelle tall eller polynomer.

-I tilfelle av matriser oppfylles den tilknyttede egenskapen for addisjon og multiplikasjon, selv om i sistnevnte tilfelle ikke er kommutativiteten oppfylt. Dette betyr at gitt matriser A, B og C er det sant at:

(A x B) x C = A x (B x C)

Men … A x B ≠ B x A

Den tilknyttede egenskapen i vektorer

Vektorer danner et annet sett enn reelle tall eller komplekse tall. Operasjonene som er definert for settet med vektorer er noe forskjellige: det er tillegg, subtraksjon og tre typer produkter.

Summen av vektorer oppfyller den assosiative egenskapen, det samme gjelder tall, polynomer og matriser. Når det gjelder de skalære produktene, skalær etter vektor og kryss som er laget mellom vektorer, oppfyller sistnevnte ikke det, men det skalare produktet, som er en annen type operasjon mellom vektorer, oppfyller det under hensyntagen til følgende:

-Produktet av en skalar og en vektor resulterer i en vektor.

-Og når skala multipliserer to vektorer, resulterer en skalær.

Derfor, gitt vektorene v , u og w, og i tillegg en skalær λ, er det mulig å skrive:

- Summen av vektorer: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Scalar produkt: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Det siste er mulig takket være at v • u er en skalær, og λ v er en vektor.

Men:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Faktorisering av polynomer ved gruppering av termer

Denne applikasjonen er veldig interessant, fordi som den ble sagt før, den tilknyttede egenskapen er med på å løse visse problemer. Summen av monomer er assosiativ, og dette kan brukes til faktorering når en åpenbar vanlig faktor ikke vises ved første øyekast.

Anta for eksempel at du blir bedt om å faktorere: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Dette polynomet har ingen felles faktor, men la oss se hva som skjer hvis det er gruppert slik:

Den første parentesen har en felles faktor for øks ² :

I det andre er den vanlige faktoren 3:

Øvelser

- Oppgave 1

En skolebygning har 4 etasjer og har hver 12 klasserom med 30 skrivebord inne. Hvor mange pulter har skolen totalt?

Løsning

Dette problemet løses ved å bruke den tilknyttede egenskapen til multiplikasjon, la oss se:

Totalt antall pulter = 4 etasjer x 12 klasserom / gulv x 30 pulter / klasserom = (4 x 12) x 30 pulter = 48 x 30 = 1440 pulter.

Eller hvis du foretrekker: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 pulter

- Oppgave 2

Gitt polynomiene:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Bruk den tilknyttede egenskapen til tillegg for å finne A (x) + B (x) + C (x).

Løsning

Du kan gruppere de to første og legge den tredje til resultatet:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Umiddelbart tilsettes polynomet C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Leseren kan bekrefte at resultatet er identisk hvis det løses med alternativet A (x) +.

referanser

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Matematikk er morsom, kommutative, assosiative og distribuerende lover. Gjenopprettet fra: mathisfun.com.
3. Math Warehouse. Definisjon av tilknyttet eiendom. Gjenopprettet fra: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Assosiativ og kommutativ egenskap til tilsetning og multiplikasjon (med eksempler). Gjenopprettet fra: sciencing.com.
5. Wikipedia. Assosiativ eiendom. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org.