LÅS EIENDOM AV ALGEBRA: BEVIS, EKSEMPLER - MATTE - 2026

Den låst egenskap av algebra er et fenomen som er relatert to elementer av et sett med en operasjon, der den nødvendige betingelse er at, etter de 2 elementer er behandlet under nevnte operasjon, resultatet hører også til første sett.

For eksempel, hvis partall blir tatt som et sett og en sum som en operasjon, får vi en lås av det settet med hensyn til summen. Dette fordi summen av 2 partall alltid vil resultere i et annet partall, og dermed oppfylle låsebetingelsen.

Kilde: unsplash.com

kjennetegn

Det er mange egenskaper som bestemmer algebraiske rom eller kropper, for eksempel strukturer eller ringer. Imidlertid er låseegenskapen en av de mest kjente innen grunnleggende algebra.

Ikke alle anvendelser av disse egenskapene er basert på numeriske elementer eller fenomener. Mange hverdagslige eksempler kan arbeides ut fra en ren algebraisk-teoretisk tilnærming.

Et eksempel kan være innbyggerne i et land som inngår et rettsforhold av noe slag, for eksempel et kommersielt partnerskap eller ekteskap blant andre. Etter at denne operasjonen eller ledelsen er utført, forblir de statsborgere i landet. På denne måten representerer statsborgerskaps- og styringsoperasjoner med hensyn til to borgere en lås.

Numerisk algebra

Når det gjelder tall, er det mange aspekter som har vært gjenstand for studier i forskjellige strømmer i matematikk og algebra. Et stort antall aksiomer og teoremer har dukket opp fra disse studiene som fungerer som det teoretiske grunnlaget for samtidsforskning og arbeid.

Hvis vi jobber med det numeriske settet, kan vi etablere en annen gyldig definisjon for låseegenskapen. Et sett A sies å være låsen til et annet sett B hvis A er det minste settet som inneholder alle settene og operasjonene som B inneholder.

Demonstrasjon

Låsebeviset brukes for elementer og operasjoner som er til stede i settet med reelle tall R.

La A og B være to tall som tilhører settet R, lukkingen av disse elementene er definert for hver operasjon som er i R.

Sum

- Sum: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Dette er den algebraiske måten å si at for alle A og B som tilhører de reelle tallene, har vi at summen av A pluss B er lik C, som også hører til de virkelige.

Det er lett å sjekke om denne proposisjonen er sann; det er nok å utføre summen mellom et hvilket som helst reelt tall og verifisere om resultatet også hører til de reelle tallene.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Det observeres at låsebetingelsen er oppfylt for de reelle tallene og summen. På denne måten kan det konkluderes: Summen av reelle tall er en algebraisk lås.

multiplikasjon

- Multiplikasjon: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

For alle A og B som tilhører realene, har vi at multiplikasjonen av A med B er lik C, som også hører til realene.

Når du verifiserer med de samme elementene fra forrige eksempel, blir følgende resultater observert.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Dette er nok bevis for å konkludere med at: Multiplikasjon av reelle tall er en algebraisk lås.

Denne definisjonen kan utvides til alle operasjoner med reelle tall, selv om vi vil finne visse unntak.

Kilde: pixabay.com

Spesielle tilfeller i R

Inndeling

Det første spesielle tilfellet er deling, der følgende unntak sees:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

For alle A og B som tilhører R har vi at A blant B ikke tilhører realene hvis og bare hvis B er lik null.

Denne saken refererer til begrensningen i å ikke kunne dele seg med null. Fordi null hører til de reelle tallene, så følger det at: inndelingen er ikke en lås på realene.

filing

Det er også potensieringsoperasjoner, nærmere bestemt radikalisering, der unntak presenteres for radikale krefter med jevn indeks:

For alle A som tilhører realene, tilhører den nede roten til A realene, hvis og bare hvis A tilhører de positive realene som er knyttet til et sett hvis eneste element er null.

På denne måten betegnes det at de jevne røttene bare gjelder positive realer, og det konkluderes med at potensieringen ikke er en lås i R.

logaritmen

På en homolog måte kan det sees for den logaritmiske funksjonen, som ikke er definert for verdier mindre enn eller lik null. For å sjekke om logaritmen er en lås av R, gjør du som følger:

For alle A som tilhører realene, tilhører A logaritmen til realene, hvis og bare hvis A tilhører de positive realene.

Ved å ekskludere negative verdier og null som også hører til R, kan det anføres at:

Logaritmen er ikke en lås av de reelle tallene.

eksempler

Kontroller låsen for tillegg og subtraksjon av de naturlige tallene:

Sum i N

Den første tingen er å sjekke låsekondisjonen for forskjellige elementer i det gitte settet, hvor hvis det blir observert at noen element bryter med tilstanden, kan eksistensen av en lås automatisk nektes.

Denne egenskapen gjelder for alle mulige verdier for A og B, som vi ser i følgende operasjoner:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Det er ingen naturverdier som bryter låsens tilstand, så det konkluderes:

Summen er en lås i N.

Trekk fra i N

Naturlige elementer som er i stand til å bryte tilstanden, blir søkt; A - B tilhører de innfødte.

Det er enkelt å finne par naturlige elementer som ikke oppfyller låsens tilstand. For eksempel:

7 - 10 = -3 ∉ a N

På denne måten kan vi konkludere med at:

Subtraksjon er ikke en lås på settet med naturlige tall.

Foreslåtte øvelser

1-Vis om låseegenskapen er oppfylt for settet med rasjonelle tall Q, for operasjonstilsetning, subtraksjon, multiplikasjon og inndeling.

2-Forklar om settet med reelle tall er en lås av settet med hele tall.

3-Bestem hvilket numerisk sett som kan være låsen til de reelle tallene.

4-Bevis egenskapen til låsen for settet med imaginære tall, med hensyn til addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling.

referanser

1. Panorama av ren matematikk: Bourbakistvalget. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Algebraisk tallteori. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. National Autonomous University of Mexico, 1975.
3. Lineær algebra og dens applikasjoner. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Algebraiske strukturer V: kroppsteori. Hector A. Merklen. Organisering av amerikanske stater, generalsekretariatet, 1979.
5. Introduksjon til kommutativ algebra. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.