LIKESTILLINGSEGENSKAPER - MATTE - 2026

Likhetens egenskaper refererer til forholdet mellom to matematiske objekter, enten de er tall eller variabler. Det er betegnet med symbolet "=", som alltid går mellom disse to objektene. Dette uttrykket brukes for å slå fast at to matematiske objekter representerer det samme objektet; med andre ord, at to objekter er den samme tingen.

Det er tilfeller der det er trivielt å bruke likhet. For eksempel er det tydelig at 2 = 2. Når det gjelder variabler er det imidlertid ikke lenger trivielt og har spesifikke bruksområder. For eksempel, hvis vi har det y = x og på den annen side x = 7, kan vi konkludere med at y = 7 også.

Eksemplet ovenfor er basert på en av egenskapene til likhet, som du snart vil se. Disse egenskapene er viktige for å løse ligninger (likheter som involverer variabler), som utgjør en veldig viktig del av matematikken.

Hva er egenskapene til likhet?

Reflekterende eiendom

Den refleksive egenskapen, i tilfelle av likhet, sier at hvert tall er lik seg selv og uttrykkes som b = b for et reelt tall b.

I det spesielle tilfellet av likhet synes denne egenskapen å være åpenbar, men i andre typer forhold mellom tall er det ikke. Med andre ord, ikke alle reelle tallforhold oppfyller denne egenskapen. For eksempel et slikt tilfelle av forholdet “mindre enn” (<); ingen tall er mindre enn seg selv.

Symmetrisk egenskap

Den symmetriske egenskapen for likhet sier at hvis a = b, så b = a. Uansett hvilken rekkefølge som brukes i variablene, vil den bli bevart av likhetsrelasjonen.

En viss analogi av denne egenskapen med den kommutative egenskapen kan observeres i tilfelle tilføyelse. På grunn av denne egenskapen tilsvarer det for eksempel y = 4 eller 4 = y.

Transitiv eiendom

Den transitive egenskapen om likhet sier at hvis a = b og b = c, så a = c. For eksempel 2 + 7 = 9 og 9 = 6 + 3; Derfor har vi den transitive egenskapen at 2 + 7 = 6 + 3.

En enkel applikasjon er følgende: anta at Julian er 14 år og at Mario er på samme alder som Rosa. Hvis Rosa er på samme alder som Julián, hvor gammel er da Mario?

Bak dette scenariet brukes den transitive egenskapen to ganger. Matematisk tolkes det slik: la "a" være Mario, "b" Rosa, og "c" Julians alder. Det er kjent at b = c og at c = 14.

Ved den transitive egenskapen har vi at b = 14; det vil si at Rosa er 14 år gammel. Siden a = b og b = 14, bruker vi den transitive egenskapen igjen, har vi at a = 14; det vil si at Marios alder også er 14 år gammel.

Ensartet eiendom

Den enhetlige egenskapen er at hvis begge sider av en likhet legges til eller multipliseres med samme beløp, bevares likheten. For eksempel, hvis 2 = 2, så er 2 + 3 = 2 + 3, noe som er klart, siden 5 = 5. Denne egenskapen er mest nyttig når du prøver å løse en ligning.

Anta for eksempel at du blir bedt om å løse ligningen x-2 = 1. Det er praktisk å huske at å løse en ligning består av eksplisitt å bestemme variabelen (eller variablene) som er involvert, basert på et spesifikt tall eller en tidligere spesifisert variabel.

Når du går tilbake til ligningen x-2 = 1, er det du må gjøre eksplisitt å finne hvor mye x er verdt. For å gjøre dette, må variabelen tømmes.

Det er feilaktig lært at siden dette nummeret er negativt, passerer det til den andre siden av likheten med et positivt tegn. Men det er ikke riktig å si det slik.

I utgangspunktet er det du gjør å bruke den enhetlige eiendommen, som vi vil se nedenfor. Tanken er å tømme "x"; det vil si, la den være i fred på den ene siden av ligningen. Etter stevne blir det vanligvis igjen på venstre side.

For dette formålet er tallet for å "eliminere" -2. Måten å gjøre det på ville være ved å legge til 2, siden -2 + 2 = 0 og x + 0 = 0. For å gjøre dette uten å endre likheten, må den samme operasjonen brukes på den andre siden.

Dette gjør at vi kan realisere den enhetlige egenskapen: siden x-2 = 1, hvis tallet 2 er lagt til på begge sider av likheten, sier uniformseiendommen at det ikke endres. Så har vi den x-2 + 2 = 1 + 2, som tilsvarer at x = 3. Med dette ville ligningen løst.

På samme måte, hvis du vil løse ligningen (1/5) y-1 = 9, kan du fortsette å bruke den enhetlige egenskapen som følger:

Mer generelt kan følgende uttalelser komme:

- Hvis ab = cb, så a = c.

- Hvis xb = y, så er x = y + b.

- Hvis (1 / a) z = b, så er z = a ×

- Hvis (1 / c) a = (1 / c) b, så a = b.

Avbestilling eiendom

Avbestillingsegenskapen er et spesielt tilfelle av den enhetlige egenskapen, spesielt med tanke på subtraksjon og deling (som i utgangspunktet også tilsvarer addisjon og multiplikasjon). Denne egenskapen behandler denne saken separat.

For eksempel, hvis 7 + 2 = 9, så er 7 = 9-2. Eller hvis 2y = 6, så y = 3 (dele med to på begge sider).

Analogt med forrige tilfelle kan følgende uttalelser etableres gjennom avbestillingsegenskapen:

- Hvis a + b = c + b, så a = c.

- Hvis x + b = y, så er x = yb.

- Hvis az = b, så er z = b / a.

- Hvis ca = cb, så a = b.

Erstatningseiendom

Hvis vi vet verdien av et matematisk objekt, sier substitusjonsegenskapen at denne verdien kan erstattes i en hvilken som helst ligning eller uttrykk. For eksempel, hvis b = 5 og a = bx, og erstatter verdien av "b" i den andre likheten, har vi at a = 5x.

Et annet eksempel er følgende: hvis "m" deler "n" og også "n" deler "m", må vi ha det m = n.

Å si at "m" deler "n" (eller tilsvarende, at "m" er en deler av "n") betyr faktisk at divisjonen m ÷ n er nøyaktig; det vil si at å dele "m" med "n" gir et helt tall, ikke en desimal. Dette kan uttrykkes ved å si at det eksisterer et helt tall "k" slik at m = k × n.

Siden "n" også deler "m", så eksisterer det et helt tall "p" slik at n = p × m. På grunn av substitusjonsegenskapen har vi den n = p × k × n, og for at dette skal skje er det to muligheter: n = 0, i hvilket tilfelle vil vi ha identiteten 0 = 0; op × k = 1, derav identiteten n = n.

Anta at "n" ikke er nådd. Da nødvendigvis p × k = 1; derfor p = 1 og k = 1. Ved å bruke substitusjonsegenskapen på nytt, ved å erstatte k = 1 i likheten m = k × n (eller tilsvarende, p = 1 i n = p × m), oppnår vi endelig den m = n, som var det vi ønsket å bevise.

Krafteiendom i en likeverd

På samme måte som tidligere ble det sett at hvis en operasjon som tillegg, multiplikasjon, subtraksjon eller deling gjøres i begge formene av en likhet, blir den bevart, på samme måte som andre operasjoner som ikke endrer en likhet, kan brukes.

Nøkkelen er å alltid utføre den på begge sider av likheten og på forhånd sørge for at operasjonen kan utføres. Slik er tilfelle av myndighet; det vil si at hvis begge sider av en ligning blir hevet til samme kraft, har vi fortsatt en likhet.

For eksempel siden 3 = 3, så 3 ² = 3 ² (9 = 9). Generelt gitt et helt tall "n", hvis x = y, så er x ⁿ = y ⁿ .

Rot eiendom i en likeverd

Dette er et spesielt tilfelle av empowerment og brukes når kraften er et ikke-heltall rasjonelt tall, for eksempel ½, som representerer kvadratroten. Denne egenskapen sier at hvis den samme roten blir brukt på begge sider av en likhet (når det er mulig), blir likheten bevart.

I motsetning til forrige tilfelle, må du her være forsiktig med pariteten til roten som skal brukes, siden det er velkjent at den jevne roten til et negativt tall ikke er godt definert.

I tilfelle at radikalen er jevn, er det ikke noe problem. Hvis x ³ = -8 for eksempel, selv om det er en likhet, kan du ikke bruke en firkantrot på begge sider, for eksempel. Imidlertid, hvis du kan bruke en kubusrot (som er enda mer praktisk hvis du eksplisitt vil vite verdien av x), og dermed få den x = -2.

referanser

1. Aylwin, CU (2011). Logikk, sett og tall. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematikk 1 SEP. Terskel.
3. Lira, ML (1994). Simon og matematikk: matematikk tekst for andre klasse: elevbok. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Matematikkurs 3. Redaksjonell progreso.
5. Segovia, BR (2012). Matematiske aktiviteter og spill med Miguel og Lucía. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematikkurs. Redaksjonell progreso.