SAMMENSATT PROPORSJONALITET: FORKLARING, SAMMENSATT REGEL AV TRE, ØVELSER - MATTE - 2026

Den sammensatte eller multiple proporsjonaliteten er forholdet over to størrelser, som kan observeres direkte og omvendt proporsjonalitet mellom dataene og det ukjente. Dette er en mer avansert versjon av enkel proporsjonalitet, selv om teknikkene som brukes i begge prosedyrer er like.

Hvis det for eksempel er behov for 7 personer for å losse 10 tonn varer på 3 timer, kan den sammensatte proporsjonaliteten brukes til å beregne hvor mange mennesker det vil ta å laste 15 tonn på 4 timer.

Kilde: pixabay.com

For å svare på dette spørsmålet er det praktisk å lage en tabell med verdier for å studere og relatere størrelser og ukjente.

Vi fortsetter med å analysere typer relasjoner mellom hver størrelsesorden og det nåværende ukjente, som for dette tilfellet tilsvarer antall mennesker som vil jobbe.

Når vekten på varene øker, øker også antallet personer som skal lastes av. På grunn av dette er forholdet mellom vekt og arbeidere direkte.

På den annen side, når antallet arbeidere øker, reduseres arbeidstiden. På grunn av dette er forholdet mellom mennesker og arbeidstid av den omvendte typen.

Hvordan beregne sammensatte proporsjoner

For å løse eksempler som den ovenfor, brukes mest sammensatte regel for tre metoder. Dette består i å etablere hvilke typer forhold mellom mengder og ukjente og deretter representere et produkt mellom brøk.

Med hensyn til det første eksemplet er brøkene som tilsvarer verdistabellen organisert som følger:

Men før du løser og løser det ukjente, må brøkene som tilsvarer det omvendte forholdet inverteres. Som for dette tilfellet tilsvarer variabel tid. På denne måten vil operasjonen for å løse være:

Den eneste forskjellen er inversjonen av brøkdelen som tilsvarer tidsvariabelen 4/3. Vi fortsetter å operere og fjerne verdien av x.

Dermed er det behov for mer enn elleve personer for å kunne laste av 15 tonn varer på 4 timer eller mindre.

Forklaring

Proporsjonalitet er den konstante sammenhengen mellom mengder som kan endres, som vil være symmetrisk for hver av de involverte mengdene. Det er direkte og omvendt proporsjonale forhold, og definerer således parametrene for enkel eller sammensatt proporsjonalitet.

Direkte regel om tre

Den består av et proporsjonsforhold mellom variabler, som viser samme oppførsel når de modifiseres. Det er veldig hyppig i beregningen av prosentandeler som refererer til andre størrelser enn hundre, der dens grunnleggende struktur blir verdsatt.

Som et eksempel kan 15% av 63 beregnes. Ved første øyekast kan denne prosentandelen ikke lett verdsettes. Men når vi implementerer regelen om tre, kan følgende forhold opprettes: Hvis 100% er 63, så 15%, hvor mye vil det da være?

100% ---- 63

15% ---– X

Og tilsvarende operasjon er:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Hvor prosenttegnene er forenklet og tallet 9.45 er oppnådd, som representerer 15% av 63.

Invers regel av tre

Som navnet tilsier, er i dette tilfellet forholdet mellom variablene det motsatte. Det omvendte forholdet må etableres før du går videre til beregningen. Prosedyren er homolog med den med den direkte regelen på tre, bortsett fra investeringen i brøkdelen som skal beregnes.

For eksempel trenger 3 malere 5 timer for å gjøre ferdig en vegg. På hvor mange timer ville 4 malere fullføre det?

I dette tilfellet er forholdet omvendt, ettersom antall malere øker, bør arbeidstiden reduseres. Forholdet er etablert;

3 malere - 5 timer

4 malere - X timer

Etter hvert som forholdet er omgjort, blir operasjonsrekkefølgen snudd. Dette er den riktige måten;

(3 malere). (5 timer) / 4 malere = 3,75 timer

Begrepet malere er forenklet, og resultatet er 3,75 timer.

Tilstand

For å være i nærvær av en sammensatt eller multiple proporsjonalitet, er det nødvendig å finne begge typer forhold mellom størrelser og variabler.

- Direkte: Variabelen har samme oppførsel som den ukjente. Det vil si at når den ene øker eller reduseres, endres den andre likt.

- Inverse: Variabelen har en antonymatferd mot den ukjente. Fraksjonen som definerer nevnte variabel i tabellen med verdier, må omvendes, for å representere det omvendte proporsjonale forholdet mellom variabel og ukjent.

Verifisering av resultater

Det er veldig vanlig å forveksle rekkefølgen på mengder når man arbeider med sammensatte proporsjonaliteter, i motsetning til hva som skjer i de vanlige proporsjonsberegningene, hvis natur stort sett er direkte og løselig ved hjelp av en enkel regel på tre.

Av denne grunn er det viktig å undersøke den logiske rekkefølgen på resultatene, og verifisere sammenhengen i figurene produsert av sammensatt regel av tre.

I det første eksemplet ville det å gjøre en slik feil resultere i 20 som resultatet. Det vil si 20 personer som losser 15 tonn varer på 4 timer.

Ved første øyekast virker det ikke som et vanvittig resultat, men det er merkelig en økning på nesten 200% i staben (fra 7 til 20 personer) når økningen i varer er 50%, og til og med med større tidsmargin for å utføre arbeidet.

Dermed representerer den logiske verifiseringen av resultatene et viktig trinn i å implementere den sammensatte regelen for tre.

Klarering

Selv om den er mer grunnleggende i forhold til matematisk trening, representerer klareringen et viktig skritt i forhold til proporsjonalitet. En feil godkjenning er nok til å ugyldiggjøre ethvert resultat oppnådd i den enkle eller sammensatte regelen for tre.

Historie

Regelen om tre ble kjent i Vesten gjennom araberne, med publikasjoner av forskjellige forfattere. Blant dem Al-Jwarizmi og Al-Biruni.

Al-Biruni hadde takket være sin flerkulturelle kunnskap tilgang til enorm informasjon om denne praksisen på sine turer til India, og var ansvarlig for den mest omfattende dokumentasjonen om tre-regelen.

Han uttaler i sin forskning at India var det første stedet der bruken av regelen om tre ble vanlig. Forfatteren forsikrer at det ble fremført på en flytende måte i sine direkte, inverse og til og med sammensatte versjoner.

Den nøyaktige datoen da regelen om tre ble en del av den matematiske kunnskapen om India er fremdeles ukjent. Imidlertid ble det eldste dokumentet som omhandlet denne praksisen, Bakhshali-manuskriptet, oppdaget i 1881. Det er for tiden i Oxford.

Mange historikere i matematikk hevder at dette manuskriptet stammer fra begynnelsen av nåtiden.

Løste øvelser

Oppgave 1

Et flyselskap må frakte 1.535 personer. Det er kjent at med 3 fly vil det ta 12 dager å få den siste passasjeren til destinasjonen. 450 flere mennesker har ankommet flyselskapet og to fly blir beordret til å repareres for å hjelpe med denne oppgaven. Hvor mange dager vil det ta flyselskapet å overføre hver siste passasjer til deres destinasjon?

Forholdet mellom antall mennesker og arbeidsdager er direkte, fordi jo større antall mennesker, jo flere dager vil det ta å utføre dette arbeidet.

På den annen side er forholdet mellom fly og dager omvendt proporsjonalt. Når antallet fly øker, reduseres dagene som trengs for å frakte alle passasjerer.

Verdistabellen som refererer til denne saken er laget.

Som beskrevet i det første eksemplet, må telleren og nevneren vendes i brøkdelen som tilsvarer den inverse variabelen med hensyn til det ukjente. Operasjonen er som følger:

X = 71460/7675 = 9,31 dager

For å overføre 1985 personer med 5 fly, tar det mer enn 9 dager.

Oppgave 2

En 25 tonns maisavling føres til lastebilene. Det er kjent at året før tok det 8 timer med en lønn på 150 arbeidere. Hvis lønnstallet for dette året økte med 35%, hvor lang tid vil det ta dem å fylle lastebilene med en 40-tonns avling?

Før du representerer verdistabellen, må antall arbeidere for dette året defineres. Dette økte med 35% fra det opprinnelige tallet på 150 arbeidere. En direkte regel på tre brukes for dette.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35.100) / 100 = 52.5. Dette er antall ekstra arbeidere i forhold til året før, og oppnådde et samlet antall arbeidere på 203, etter å ha avrundet det oppnådde beløpet.

Vi fortsetter med å definere den tilhørende datatabellen

For dette tilfellet representerer vekten en variabel som er direkte relatert til den ukjente tiden. På den annen side har arbeidervariabelen et omvendt forhold til tiden. Jo større antall arbeidere, jo kortere er arbeidsdagen.

Tar vi hensyn til disse hensynene og inverterer brøkdelen som tilsvarer arbeidervariabelen, fortsetter vi med å beregne.

X = 40600/6000 = 6,76 timer

Reisen vil ta i underkant av 7 timer.

Foreslåtte øvelser

- Definer 73% av 2875.

- Beregn antall timer Teresa sover, hvis det er kjent at hun bare sover 7% av totalen for dagen. Definer hvor mange timer du sover i uken.

- En avis gir ut 2000 eksemplarer hver 5. time, og bruker bare to trykkmaskiner. Hvor mange eksemplarer vil han produsere på en time, hvis han bruker 7 maskiner? Hvor lang tid vil det ta å produsere 10.000 eksemplarer ved å bruke 4 maskiner?

referanser

1. Encyclopedia Alvarez-initiation. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Komplett håndbok for grunnskoleopplæring: for bruk av håpefulle lærere og spesielt elever ved Normal Schools of the Province, bind 1. Joaquín Avendaño. Trykking av D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Rasjonell tilnærming av virkelige funksjoner. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. mars. 2011.
4. Elementær aritmetikk for undervisning i skoler og høyskoler i Mellom-Amerika. Darío González. Tips. Arenales, 1926.
5. Studiet av matematikk: Om studiet og vanskeligheter med matematikk. Augustus De Morgan. Baldwin og Cradock, 1830.