COPLANAR POENG: LIGNING, EKSEMPEL OG LØSTE ØVELSER - MATTE - 2026

De samme plan punkter alle tilhører samme plan. To punkter er alltid koplanære, siden disse punktene definerer en linje som uendelige plan går gjennom. Deretter hører begge punkter til hvert av flyene som går gjennom linjen, og derfor vil de alltid være planlan.

På den annen side definerer tre punkter et enkelt plan, hvorfra det følger at tre punkter alltid vil være koplanære til planet de bestemmer.

Figur 1. A, B, C og D er koplanære til (Ω) planet. E, F og G er ikke koplanære til (Ω), men de er koplanære til planet som de definerer. Kilde: F. Zapata.

Mer enn tre punkter kan være koplanære eller ikke. For eksempel i figur 1 er punktene A, B, C og D koplanære til planet (Ω). Men E, F og G er ikke koplanære til (Ω), selv om de er koplanære til planet som de definerer.

Ligning av et plan gitt tre poeng

Ligningen for et plan bestemt av tre kjente punkter A, B, C er en matematisk relasjon som garanterer at ethvert punkt P med generiske koordinater (x, y, z) som oppfyller ligningen, tilhører nevnte plan.

Den forrige uttalelsen tilsvarer det å si at hvis P av koordinater (x, y, z) oppfyller ligningen for planet, så vil nevnte punkt være koplanært med de tre punktene A, B, C som bestemte planet.

For å finne ligningen på dette planet, la oss begynne med å finne vektorene AB og AC :

AB =

AC =

Vektorproduktet AB X AC resulterer i en vektor vinkelrett eller normal på planet bestemt av punktene A, B, C.

Ethvert punkt P av koordinater (x, y, z) hører til planet hvis vektoren AP er vinkelrett på vektoren AB X AC , som garanteres hvis:

AP • (AB X AC) = 0

Dette tilsvarer det å si at tredobbeltproduktet til AP , AB og AC er null. Ligningen ovenfor kan skrives i matriksform:

Eksempel

La punktene A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) og D (a, 0, 1). Hvilken verdi må en ha for at de fire punktene skal være planlagte?

Løsning

For å finne verdien av a, må punkt D være en del av planet bestemt av A, B og C, noe som er garantert hvis det tilfredsstiller likningen til planet.

Utvikle determinanten vi har:

Den forrige ligningen forteller oss at a = -1 for at likheten skal oppfylles. Med andre ord, den eneste måten som punkt D (a, 0,1) er koplanar med punktene A, B og C er for a å være -1. Ellers vil det ikke være koplanar.

Løste øvelser

- Oppgave 1

Et plan krysser de kartesiske aksene X, Y, Z ved henholdsvis 1, 2 og 3. Skjæringen mellom dette planet og aksene bestemmer punkt A, B og C. Finn komponenten Dz til et punkt D, hvis kartesiske komponenter er:

Forutsatt at D er koplanar med punkt A, B og C.

Løsning

Når avskjæringer fra et plan med de kartesiske aksene er kjent, kan den segmentelle formen for likningen til planet brukes:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Siden punkt D må tilhøre det forrige planet, må det:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Det er å si:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Fra det ovenstående følger det at punkt D (3, -2, -3) er koplanært med punktene A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) og C (0, 0, 3).

- Oppgave 2

Bestem om punktene A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) og D (2, 3, 1) er koplanære.

Løsning

Vi danner matrisen hvis rader er koordinatene til DA, BA og CA. Da beregnes determinanten og det blir bekreftet om den er null eller ikke.

Etter å ha utført alle beregningene, konkluderes det med at de er planlagte.

- Oppgave 3

Det er to linjer i verdensrommet. En av dem er linjen (R) hvis parametriske ligning er:

Og den andre er linjen (S) hvis ligning er:

Vis at (R) og (S) er koplanære linjer, det vil si at de ligger i samme plan.

Løsning

La oss begynne med vilkårlig å ta to poeng på linjen (R) og to på linjen (S):

Linje (R): λ = 0; A (1, 1, 1) og λ = 1; B (3, 0, 1)

La x = 0 på linjen (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Og på den annen side, hvis vi lager y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Det vil si at vi har tatt punktene A og B som tilhører linjen (R) og punktene C og D som tilhører linjen (S). Hvis disse punktene er koplanære, vil de to linjene også være.

Nå velger vi punkt A som pivot og så finner vi koordinatene til vektorene AB , AC og AD. På denne måten får du:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Det neste trinnet er å konstruere og beregne determinanten hvis første rad er koeffisientene til vektoren AB , den andre raden er de av AC og den tredje raden de av vektoren AD :

Siden determinanten viser seg å være null, kan vi konkludere med at de fire punktene er koplanære. I tillegg kan det anføres at linjene (R) og (S) også er koplanære.

- Oppgave 4

Linjene (R) og (S) er koplanære, som vist i oppgave 3. Finn ligningen på planet som inneholder dem.

Løsning

Punktene A, B, C definerer det planet fullstendig, men vi vil pålegge at ethvert punkt X med koordinater (x, y, z) hører til det.

For at X skal høre til planet definert av A, B, C og hvor linjene (R) og (S) er inneholdt, er det nødvendig at determinanten som er dannet i sin første rad av komponentene til AX , i den andre raden av de av AB og i den tredje av de av AC :

Etter dette resultatet grupperer vi på denne måten:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Og umiddelbart ser du at det kan skrives om slik:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Derfor er x + 2y - z = 2 ligningen for planet som inneholder linjene (R) og (S).

referanser

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Lineær algebra. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Flat Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Redaksjonell Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektorer. Gjenopprettet fra: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Forberegning. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Grunnleggende begreper om geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Education.