HVA ER PRANDTL-TALLET? (VERDIER I GASSER OG VÆSKER) - FYSISK - 2026

Den Prandtl-tallet , forkortet Pr, er en dimensjonsløs størrelse som er relatert diffunderbarheten av momentum, gjennom den kinematiske viskositet ν (greske bokstav som leses “nu”) av et fluid, med sin termiske diffusivitet α i form av kvotient:

Figur 1. Den tyske ingeniøren Ludwig Prandtl i sitt Hannover-laboratorium i 1904. Kilde: Wikimedia Commons.

Når det gjelder fluidviskositetskoeffisienten eller dynamisk viskositet μ, den spesifikke varmen til fluidet _Cp og dens koeffisient for varmeledningsevne K, uttrykkes også Prandtl-tallet matematisk som følger:

Denne mengden er oppkalt etter den tyske forskeren Ludwig Prandtl (1875–1953), som ga store bidrag til fluidmekanikk. Prandtl-tallet er et av de viktige tallene for modellering av væskestrømmen, og spesielt måten varme overføres i dem ved konveksjon.

Av definisjonen følger det at Prandtl-tallet er et kjennetegn på væsken, siden det er avhengig av dens egenskaper. Gjennom denne verdien kan væskens evne til å overføre fart og varme sammenlignes.

Naturlig og tvungen konveksjon i væsker

Varme overføres gjennom et medium ved hjelp av forskjellige mekanismer: konveksjon, ledning og stråling. Når det er bevegelse på det makroskopiske nivået av væsken, det vil si at det er massiv bevegelse av væsken, overføres varmen raskt i den gjennom konveksjonsmekanismen.

På den annen side, når den overveiende mekanismen er ledning, skjer bevegelsen av væsken på mikroskopisk nivå, enten atomisk eller molekylær, avhengig av fluidtypen, men alltid saktere enn ved konveksjon.

Hastigheten på væsken og strømningsregimet den har - laminær eller turbulent - påvirker også dette, fordi jo raskere den beveger seg, jo raskere er varmeoverføringen.

Konveksjon skjer naturlig når væske beveger seg på grunn av en temperaturforskjell, for eksempel når en masse varm luft stiger og en annen av kald luft synker. I dette tilfellet snakker vi om naturlig konveksjon.

Men konveksjon kan også tvinges ved å bruke en vifte for å tvinge luften til å strømme, eller en pumpe for å sette vannet i bevegelse.

Når det gjelder væsken, kan den sirkulere gjennom et lukket rør (inneslutet væske), et åpent rør (for eksempel en kanal) eller en åpen overflate.

I alle disse situasjonene kan Prandtl-tallet brukes til å modellere varmeoverføring, sammen med andre viktige tall innen fluidmekanikk, som Reynolds-nummer, Mach-nummer, Grashoff-nummer, antall Nusselt, ruhet eller ruhet i røret og mer.

Viktige definisjoner i varmeoverføring i en væske

I tillegg til væskens egenskaper griper overflatenes geometri også inn i transporten av varme, så vel som typen flyt: laminær eller turbulent. Siden Prandtl-nummeret involverer en rekke definisjoner, er her en kort oppsummering av de viktigste:

Dynamisk viskositet

Det er den naturlige motstanden til en væske å strømme, på grunn av de forskjellige interaksjonene mellom molekylene. Det er betegnet μ og enhetene i det internasjonale systemet (SI) er Ns / m ² (newton x sekund / kvadratmeter) eller Pa.s (pascal x sekund), kalt poise. Den er mye høyere i væsker enn i gasser og avhenger av væskens temperatur.

KINEMATISK viskositet

Den er betegnet som ν (gresk bokstav som blir lest “nu”) og er definert som forholdet mellom den dynamiske viskositeten μ og tettheten ρ av en væske:

Enhetene er m ² / s.

Termisk ledningsevne

Det er definert som materialenes evne til å lede varme gjennom dem. Det er en positiv mengde og enhetene er Wm / K (watt x meter / kelvin).

Spesifikk varme

Mengde varme som må tilsettes 1 kilo stoff for å heve temperaturen med 1 ºC.

Termisk diffusivitet

Er definert som:

Enhetene for termisk diffusivitet er de samme som for kinematisk viskositet: m ² / s.

Matematisk beskrivelse av varmeoverføring

Det er en matematisk ligning som modellerer overføring av varme gjennom væsken, med tanke på at dens egenskaper som viskositet, tetthet og andre forblir konstant:

T er temperaturen, en funksjon av tiden t og av posisjonsvektoren r , mens a er den nevnte termiske diffusiviteten og Δ er den laplaciske operatøren. I kartesiske koordinater ser det slik ut:

ujevnhet

Grovhet og ujevnheter på overflaten som væsken sirkulerer gjennom, for eksempel på den indre overflaten av røret som vannet sirkulerer gjennom.

Laminar flyt

Den viser til en væske som renner i lag, på en jevn og ordnet måte. Lagene blander seg ikke, og væsken beveger seg langs såkalte strømlinjer.

Figur 2. Røykesøylen har et laminært regime i begynnelsen, men da vises volutter som indikerer et turbulent regime. Kilde: Pixabay.

Turbulent strømning

I dette tilfellet beveger væsken seg på en uordnet måte, og dens partikler danner virvel.

Prandtl tallverdier i gasser og væsker

I gasser er størrelsesorden for både kinematisk viskositet og termisk diffusivitet gitt av produktet av gjennomsnittshastigheten til partiklene og den gjennomsnittlige frie bane. Det siste er verdien av den gjennomsnittlige avstanden som et gassmolekyl har kjørt mellom to kollisjoner.

Begge verdiene er veldig like, derfor er antallet Prandtl Pr nær 1. For eksempel for luft Pr = 0.7. Dette betyr at både momentum og varme overføres omtrent like raskt i gasser.

I flytende metaller er Pr imidlertid mindre enn 1, siden frie elektroner leder varme mye bedre enn momentum. I dette tilfellet er v mindre enn α og Pr <1. Et godt eksempel er flytende natrium, brukt som kjølevæske i kjernereaktorer.

Vann er en mindre effektiv leder av varme, med Pr = 7, så vel som tyktflytende oljer, hvis Prandtl-tall er mye høyere, og kan nå 100 000 for tunge oljer, noe som betyr at varme overføres i dem med veldig treg, sammenlignet med fart.

Tabell 1. Størrelsesrekkefølge for Prandtl-tallet for forskjellige væsker

Væske	v (m 2 / s)	α (m 2 / s)	Pr
Terrestrisk mantel	10 17	10 -6	10 23
Indre lag av solen	10 -2	10 2	10 -4
Jordens atmosfære	10 -5	10 -5	en
hav	10 -6	10 -7	10

Eksempel

De termiske diffusivitetene til vann og luft ved 20 ºC er henholdsvis 0,00142 og 0,208 cm ² / s. Finn Prandtl-tallene for vann og luft.

Løsning

Definisjonen gitt i begynnelsen gjelder, da utsagnet gir verdiene til α:

Og når det gjelder verdiene til v, kan de finnes i en tabell med egenskaper for væsker, ja, vi må være forsiktige med at v er i de samme enhetene av α og at de har gyldighet ved 20 ºC:

v _luft = 1,51x 10 ^-5 m ² / s = 0,151 cm ² / s; v _vann = 1,02 x ^10-6 m ² / s = 0,0102 cm ² / s

Og dermed:

Pr (luft) = 0,151 / 0,208 = 0,726; Pr (vann) = 0,0102 / 0,00142 = 7,18

referanser

1. Organisk kjemi. Emne 3: konveksjon. Gjenopprettet fra: pi-dir.com.
2. López, JM 2005. Løst problemer med væskemekanikk. Schaum-serien. McGraw Hill.
3. Shaugnessy, E. 2005. Introduksjon til væskemekanikk. Oxford University Press.
4. Thorne, K. 2017. Modern Classical Physics. Princeton og Oxford University Press.
5. UNET. Transportfenomener. Gjenopprettet fra: unet.edu.ve.
6. Wikipedia. Prandtl-nummer. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org.
7. Wikipedia. Termisk ledningsevne. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org.
8. Wikipedia. Viskositet. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.