HVA ER SAMTIDIGE LIGNINGER? (ØVELSER LØST) - MATTE - 2026

De samtidige ligningene er de ligningene som må oppfylles samtidig. Derfor, for å ha samtidige ligninger, må du ha mer enn en ligning.

Når du har to eller flere forskjellige ligninger, som må ha den samme løsningen (eller de samme løsningene), sies det at du har et system med ligninger, eller det sies også at du har samtidige ligninger.

Når vi har samtidige ligninger, kan det skje at de ikke har vanlige løsninger eller har en endelig mengde eller har en uendelig mengde.

Samtidige ligninger

Gitt to forskjellige ligninger Eq1 og Eq2, følger det at systemet for disse to ligningene kalles samtidige ligninger.

De samtidige ligningene tilfredsstiller at hvis S er en løsning av Eq1, så er S også en løsning av Eq2 og omvendt

kjennetegn

Når det gjelder et system med samtidige ligninger, kan du ha 2 ligninger, 3 ligninger eller N-ligninger.

De vanligste metodene som brukes for å løse samtidige ligninger er: substitusjon, utjevning og reduksjon. Det er også en annen metode som heter Cramer's rule, som er veldig nyttig for systemer med mer enn to samtidige ligninger.

Et eksempel på samtidige ligninger er systemet

Ekv1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Det kan sees at x = 0, y = 2 er en løsning av Eq1, men det er ikke en løsning av Eq2.

Den eneste vanlige løsningen som begge ligningene har er x = 1, y = 1. Det vil si at x = 1, y = 1 er løsningen på systemet med samtidige ligninger.

Løste øvelser

Deretter fortsetter vi å løse systemet med samtidige ligninger vist ovenfor, gjennom de 3 nevnte metodene.

Første øvelse

Løs likningssystemet Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 ved å bruke substitusjonsmetoden.

Løsning

Substitusjonsmetoden består i å løse for en av de ukjente i en av ligningene og deretter erstatte den i den andre ligningen. I dette tilfellet kan vi løse for "y" fra Eq1, og vi oppnår at y = 2-x.

Ved å erstatte denne verdien av «y» i Eq2, oppnår vi at 2x- (2-x) = 1. Derfor oppnår vi at 3x-2 = 1, det vil si x = 1.

Siden verdien av x er kjent, erstattes den med "y", og vi oppnår at y = 2-1 = 1.

Derfor er den eneste løsningen på systemet med samtidige ligninger Eq1 og Eq2 x = 1, y = 1.

Andre øvelse

Løs likningssystemet Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 ved å bruke samsvarende metode.

Løsning

Matchingsmetoden består i å løse for det samme ukjente i begge ligninger og deretter matche de resulterende ligningene.

Løsning for "x" fra begge ligninger, oppnår vi at x = 2-y, og at x = (1 + y) / 2. Nå blir disse to likningene likestilt, og vi oppnår at 2-y = (1 + y) / 2, hvorfra det følger at 4-2y = 1 + y.

Å gruppere det ukjente "y" på samme side resulterer i y = 1. Nå som "y" er kjent, fortsetter vi å finne verdien av "x". Ved å erstatte y = 1, får vi at x = 2-1 = 1.

Derfor er den vanlige løsningen mellom likningene Eq1 og Eq2 x = 1, y = 1.

Tredje øvelse

Løs likningssystemet Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 ved å bruke reduksjonsmetoden.

Løsning

Reduksjonsmetoden består i å multiplisere ligningene gitt med passende koeffisienter, slik at når du legger til disse ligningene, kanselleres en av variablene.

I dette spesielle eksemplet er det ikke nødvendig å multiplisere noen ligning med noen koeffisient, bare legg dem til. Ved å legge til Eq1 pluss Eq2, oppnår vi den 3x = 3, hvorfra vi får den x = 1.

Når vi evaluerer x = 1 i Eq1, oppnår vi at 1 + y = 2, hvorfra det følger at y = 1.

Derfor er x = 1, y = 1 den eneste løsningen på de samtidige ligningene Eq1 og Eq2.

Fjerde øvelse

Løs systemet med samtidige ligninger Eq1: 2x-3y = 8 og Eq2: 4x-3y = 12.

Løsning

I denne øvelsen kreves ingen spesiell metode, derfor kan metoden som er mest behagelig for hver leser, brukes.

I dette tilfellet vil reduksjonsmetoden bli brukt. Å multiplisere Eq1 med -2 ​​gir ligningen Eq3: -4x + 6y = -16. Nå, ved å legge Eq3 og Eq2, får vi det 3y = -4, derfor y = -4 / 3.

Når vi evaluerer y = -4 / 3 i Eq1, oppnår vi at 2x-3 (-4/3) = 8, derfra 2x + 4 = 8, derfor x = 2.

Avslutningsvis er den eneste løsningen på systemet med samtidige ligninger Eq1 og Eq2 x = 2, y = -4 / 3.

observasjon

Metodene beskrevet i denne artikkelen kan brukes på systemer med mer enn to samtidige ligninger.

Jo flere ligninger og jo mer ukjente det er, jo mer komplisert er fremgangsmåten for å løse systemet.

Enhver metode for å løse ligningssystemer vil gi de samme løsningene, det vil si at løsningene ikke avhenger av den anvendte metoden.

referanser

1. Fuentes, A. (2016). GRUNNLIG matematikk. En introduksjon til kalkulus. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematikk: kvadratiske ligninger.: Hvordan løse en kvadratisk ligning. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematikk for ledelse og økonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematikk 1 SEP. Terskel.
5. Preciado, CT (2005). Matematikkurs 3. Redaksjonell progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så lett. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Education.