Det kalles relativt primt (koprime eller er relativt prima mot hverandre) for ethvert heltal har ingen felles skilletegn enn 1.
To heltall er med andre ord relative primer hvis de ikke har noen faktor til felles i deres dekomposisjoner til primtall.
Hvis for eksempel 4 og 25 er valgt, er hovedfaktoriseringene for hver henholdsvis 2 og 5². Som det fremgår har disse ikke noen vanlige faktorer, derfor er 4 og 25 relative primater.
På den annen side, hvis 6 og 24 er valgt, når vi utfører dekomposisjonene til primære faktorer, oppnår vi at 6 = 2 * 3 og 24 = 2³ * 3.
Som du kan se, disse to siste uttrykkene har minst en faktor til felles, derfor er de ikke relative primater.
Relative fettere
En detalj å være forsiktig med, er at det å si at et heltall er relative primater, ikke innebærer at noen av dem er et primtall.
På den annen side kan definisjonen ovenfor oppsummeres som følger: to heltall "a" og "b" er relative primater hvis, og bare hvis, den største fellesdeleren av disse er 1, det vil si gcd ( a, b) = 1.
To umiddelbare konklusjoner fra denne definisjonen er at:
-Hvis «a» (eller «b») er et primtall, så er gcd (a, b) = 1.
-Hvis «a» og «b» er primtall, så er gcd (a, b) = 1.
Det vil si at hvis minst ett av de valgte tallene er et primtall, er tallparet direkte relative primater.
Andre funksjoner
Andre resultater som brukes for å bestemme om to tall er relative primater er:
-Hvis to heltall er påfølgende, er de relative primater.
-To naturlige tall "a" og "b" er relative primer hvis, og bare hvis tallene "(2 ^ a) -1" og "(2 ^ b) -1" er relative primater.
- To heltall «a» og «b» er relative primes hvis, og bare hvis, når du tegner punktet (a, b) i det kartesiske planet, og konstruerer linjen som går gjennom opprinnelsen (0,0) og ( a, b), inneholder den ikke noe poeng med heltallskoordinater.
eksempler
1.- Vurder heltalene 5 og 12. Nedbrytningene i primfaktorer for begge tall er henholdsvis 5 og 2² * 3. Avslutningsvis er gcd (5,12) = 1, derfor er 5 og 12 relative primes.
2.- La tallene -4 og 6. Da -4 = -2² og 6 = 2 * 3, slik at LCD-skjermen (-4,6) = 2 ≠ 1. Avslutningsvis er ikke -4 og 6 relative primes.
Hvis vi fortsetter med å tegne linjen som går gjennom de bestilte parene (-4.6) og (0,0), og for å bestemme ligningen på nevnte linje, kan det bekreftes at den går gjennom punktet (-2,3).
Igjen konkluderes det med at -4 og 6 ikke er relative primes.
3.- Tallene 7 og 44 er relative primes, og det kan raskt konkluderes takket være det som er sagt ovenfor, siden 7 er et primtall.
4.- Vurder tallene 345 og 346. Å være to påfølgende tall er det bekreftet at gcd (345,346) = 1, derfor er 345 og 346 relative primater.
5.- Hvis tallene 147 og 74 tas i betraktning, er dette relative primes, siden 147 = 3 * 7² og 74 = 2 * 37, derfor er LCD-skjermen (147,74) = 1.
6.- Tallene 4 og 9 er relative primes. For å demonstrere dette kan den andre karakteriseringen nevnt ovenfor. Faktisk 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 og 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Tallene som er oppnådd er 15 og 511. Hovedfaktoriseringene til disse tallene er henholdsvis 3 * 5 og 7 * 73, slik at LCD (15,511) = 1.
Som du ser er bruk av den andre karakteriseringen en lengre og mer arbeidskrevende jobb enn å verifisere den direkte.
7.- Vurder tallene -22 og -27. Da kan disse tallene skrives om som følger: -22 = -2 * 11 og -27 = -3³. Derfor er gcd (-22, -27) = 1, så -22 og -27 relative primes.
referanser
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduksjon til tallteori. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Aritmetiske elementer. Biblioteket for enker og barn fra Calleja.
- Castañeda, S. (2016). Grunnkurs i tallteori. Nord universitet.
- Guevara, MH (nd). Settet med hele tall. EUNED.
- Higher Institute of Teacher Training (Spain), JL (2004). Tall, former og volumer i barnets miljø. Kunnskapsdepartementet.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Praktisk matematikk: aritmetikk, algebra, geometri, trigonometri og lysbilde-regel (reprint ed.). Reverte.
- Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så lett. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
- Szecsei, D. (2006). Grunnleggende matematikk og pre-algebra (illustrert red.). Karrierepress.
- Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematikkurs. Redaksjonell progreso.
- Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Grunnleggende prinsipper for aritmetikk. ELIZCOM SAS