HVA ER SKRÅ TREKANTER? (MED ØVELSER) - MATTE - 2026

De skrå trekantene er trekantene som ikke er rektangler. Med andre ord trekantene slik at ingen av vinklene deres er en rett vinkel (deres mål er 90º).

Siden de ikke har rette vinkler, kan ikke Pythagorean Theorem brukes på disse trekantene.

For å kjenne dataene i en skrå trekant er det derfor nødvendig å bruke andre formler.

Formlene som er nødvendige for å løse en skrå trekant, er de såkalte lovene om sines og cosinus, som vil bli beskrevet senere.

I tillegg til disse lovene, kan det faktum at summen av de indre vinklene til en trekant er lik 180º alltid brukes.

Skrå trekanter

Som angitt i begynnelsen, er en skrå trekant en trekant slik at ingen av vinklene måler 90º.

Problemet med å finne lengdene på sidene av en skrå trekant, samt å finne målene for dens vinkler, kalles "å løse skrå trekanter."

Et viktig faktum når du arbeider med trekanter er at summen av de tre indre vinklene i en trekant er lik 180º. Dette er et generelt resultat, derfor kan det også brukes på skrå trekanter.

Lov om sines og kosinus

Gitt en trekant ABC med sider av lengden "a", "b" og "c":

- Sines lov sier at a / synd (A) = b / synd (B) = c / synd (C), der A, B og C er de motsatte vinklene til «a», «b» og «c »Henholdsvis.

- Kosinelloven sier at: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). På samme måte kan følgende formler brukes:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) eller a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Ved hjelp av disse formlene kan dataene for en skrå trekant beregnes.

Øvelser

Nedenfor er noen øvelser der de manglende dataene for de gitte trekanter må finnes, basert på visse data som er levert.

Første øvelse

Gitt en trekant ABC slik at A = 45º, B = 60º og a = 12cm, beregner de andre dataene for trekanten.

Løsning

Ved å bruke at summen av de indre vinklene til en trekant er lik 180º, har vi det

C = 180º-45º-60º = 75º.

De tre vinklene er allerede kjent. Sines lov brukes deretter til å beregne de to manglende sidene.

Ligningene som oppstår er 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Fra første likestilling kan vi løse for «b» og oppnå det

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

Vi kan også løse for «c» og få tak i det

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392cm.

Andre øvelse

Gitt trekant ABC slik at A = 60º, C = 75º og b = 10cm, beregner de andre dataene for trekanten.

Løsning

Som i forrige øvelse, B = 180º-60º-75º = 45º. Ved bruk av sines lov har vi dessuten at a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), hvorfra det er oppnådd at a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm og c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Tredje øvelse

Gitt trekant ABC slik at a = 10cm, b = 15cm og C = 80º, beregne de andre dataene for trekanten.

Løsning

I denne øvelsen er bare en vinkel kjent, derfor kan den ikke startes som i de to foregående øvelsene. Også sines lov kan ikke brukes fordi ingen ligning kunne løses.

Derfor fortsetter vi å bruke kosinusloven. Det er da det

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272.905 cm,

slik at c ≈ 16,51 cm. Nå, kjenner de tre sidene, er lov om sines brukt, og det oppnås det

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Derfor resulterer løsning for B i sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, noe som innebærer at B ≈ 63,38 º.

Nå kan vi oppnå at A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Fjerde øvelse

Sidene av en skrå trekant er a = 5cm, b = 3cm og c = 7cm. Finn vinklene på trekanten.

Løsning

Igjen kan ikke sønneloven anvendes direkte siden ingen ligning ville tjene til å oppnå vinkelenes verdi.

Ved å bruke kosinusloven har vi den c² = a² + b² - 2ab cos (C), hvorfra vi løser at cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 og derfor C = 120º.

Hvis vi nå kan anvende lov om sines og dermed oppnå 5 / synd (A) = 3 / synd (B) = 7 / synd (120º), hvorfra kan vi løse for B og få den synden (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, slik at B = 21,79º.

Til slutt blir den siste vinkelen beregnet ved å bruke den A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

referanser

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometry (Reprint ed.). Framgang.
2. Leake, D. (2006). Trekanter (illustrert red.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. CR-teknologi.
5. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometri og analytisk geometri. Pearson Education.