De typer av integraler som vi finner i kalkulus er de ubestemte integraler og bestemte integraler. Selv om bestemte integraler har mange flere applikasjoner enn ubestemte integraler, er det nødvendig å først lære å løse ubestemte integraler.
En av de mest attraktive bruksområdene av bestemte integraler er beregningen av volumet til et solidt revolusjon. Begge typer integraler har de samme egenskapene til linearitet, og integrasjonsteknikkene avhenger heller ikke av typen integral.
Solid of Revolution
Men til tross for at den er veldig lik, er det en hovedforskjell; i den første typen integral er resultatet en funksjon (som ikke er spesifikk), mens i den andre typen er resultatet et tall.
Grunnleggende typer integraler
Verden av integraler er veldig bred, men innenfor den kan vi skille to grunnleggende typer integraler, som har stor anvendbarhet i hverdagen.
1- Ubestemte integraler
Hvis F '(x) = f (x) for alle x i domenet til f, sier vi at F (x) er et antiderivativ, et primitivt eller et integral av f (x).
På den annen side, la oss observere at (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), noe som innebærer at integreringen av en funksjon ikke er unik, siden vi gir forskjellige verdier til konstanten C vil vi oppnå forskjellige primitiv funksjon.
Av denne grunn kalles F (x) + C det ubestemte integralet av f (x) og C kalles integrasjonskonstanten, og vi skriver det på følgende måte
Ubestemt integral
Som vi kan se, er det ubestemte integralet av funksjonen f (x) en familie av funksjoner.
Hvis du for eksempel vil finne det ubestemte integralet til funksjonen f (x) = 3x², må du først finne et antiderivativ av f (x).
Det er lett å se at F (x) = x³ er et antiderivativ, siden F '(x) = 3x². Derfor kan det konkluderes med at
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Definitive integraler
La y = f (x) være en reell, kontinuerlig funksjon på et lukket intervall og la F (x) være et antiderivativ av f (x). Det bestemte integralet av f (x) mellom grensene a og b kalles tallet F (b) -F (a), og betegnes som følger
Fundamental Theorem of Calculus
Formelen vist over er bedre kjent som "The Fundamental Theorem of Calculus." Her kalles "a" den nedre grensen og "b" kalles den øvre grensen. Som du kan se, er det definitive integralet til en funksjon et tall.
I dette tilfellet, hvis det bestemte integralet av f (x) = 3x² beregnes i intervallet, vil et tall oppnås.
For å bestemme dette tallet velger vi F (x) = x³ som antidivativ for f (x) = 3x². Deretter beregner vi F (3) -F (0) som gir oss resultatet 27-0 = 27. Avslutningsvis er det definitive integralet av f (x) på intervallet 27.
Det kan bemerkes at hvis G (x) = x³ + 3 er valgt, så er G (x) et antiderivativ av f (x) forskjellig fra F (x), men dette påvirker ikke resultatet siden G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Av denne grunn vises ikke konstanten for integrasjon i de bestemte integralene.
En av de mest nyttige bruksområdene for denne typen integral er at det gjør det mulig for oss å beregne arealet (volumet) til en plan figur (av et fast revolusjonsstoff), og etablere passende funksjoner og integrasjonsgrenser (og en rotasjonsakse).
Innenfor de bestemte integralene kan vi finne forskjellige utvidelser av det, for eksempel linjeintegraler, overflateintegraler, upassende integraler, flere integraler, blant andre, alt med veldig nyttige applikasjoner innen vitenskap og ingeniørfag.
referanser
- Casteleiro, JM (2012). Er det enkelt å integrere? Selvstudiehåndbok. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrert kalkulus (Illustrert utg.). Madrid: ESIC-redaksjon.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematikk. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematikk: en problemløsende tilnærming (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Integrert kalkulus. Atlantic forlag og distributører.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkulus (niende utg.). Prentice Hall.