SKRÅ LINJER: KJENNETEGN, LIGNINGER OG EKSEMPLER - MATTE - 2026

De skrå linjene er de som er skråstilte, enten i forhold til en flat overflate eller annen linje som indikerer en bestemt adresse. Ta som et eksempel de tre linjene tegnet i et plan som vises i figuren nedenfor.

Vi kjenner deres respektive relative posisjoner fordi vi sammenligner dem med en referanselinje, som vanligvis er x-aksen som angir det horisontale.

Figur 1. Vertikale, horisontale og skrå linjer i samme plan. Kilde: F. Zapata.

På denne måten, ved å velge den horisontale som referanse, er linjen til venstre vertikal, den i midten er horisontal og den til høyre er skrå, siden den er skråstilt med hensyn til de daglige referanselinjene.

Nå, linjene som er i samme plan, som overflaten på papiret eller skjermen, inntar forskjellige posisjoner i forhold til hverandre, avhengig av om de skjærer hverandre eller ikke. I det første tilfellet er de sikre linjer, mens i det andre er de parallelle.

På den annen side kan de sekte linjene være skrå linjer eller vinkelrett linjer. I begge tilfeller er linjens skråninger forskjellige, men de skrå linjene danner vinkler α og β med hverandre, forskjellige fra 90º, mens vinklene bestemt av de vinkelrette linjene alltid er 90º.

Følgende figur oppsummerer disse definisjonene:

Figur 2. Relative posisjoner mellom linjer: parallelle, skrå og vinkelrett forskjellig i vinkelen de danner med hverandre. Kilde: F. Zapata.

ligninger

For å kjenne de relative stillingene til linjene i planet, er det nødvendig å kjenne vinkelen mellom dem. Merk at linjene er:

Parallell : hvis de har den samme skråningen (samme retning) og aldri krysser hverandre, er poengene derfor like store.

Tilfeldigheter : når alle punktene sammenfaller og derfor har samme helning, men avstanden mellom punktene er null.

Tørkere : hvis bakkene er forskjellige, varierer avstanden mellom punktene og krysset er et enkelt punkt.

Så en måte å vite om to linjer i flyet er stående eller parallelle er gjennom skråningen. Kriteriene for parallellitet og vinkelretthet på linjene er følgende:

Hvis vi ikke kjenner bakkene til to linjer i flyet, og ingen av de ovennevnte kriteriene er oppfylt, konkluderer vi at linjene er skrå. Å kjenne til to punkter på en linje, beregnes skråningen umiddelbart, som vi vil se i neste avsnitt.

Det er mulig å finne ut om to linjer er stående eller parallelle ved å finne skjæringspunktet deres, løse likningssystemet som de danner: hvis det er en løsning er de sikrere, hvis det ikke er noen løsning er de parallelle, men hvis løsningene er uendelige, er linjene sammenfallende.

Dette kriteriet informerer oss imidlertid ikke om vinkelen mellom disse linjene, selv om de skjærer hverandre.

For å kjenne vinkelen mellom linjene trenger vi to vektorer u og v som hører til hver av dem. Dermed er det mulig å kjenne vinkelen de danner ved hjelp av det skalare produkt av vektorene, definert på denne måten:

u • v = uvcos α

Ligning av linjen i flyet

En linje i det kartesiske planet kan være representert på flere måter, for eksempel:

- Helling-avskjæringsform: Hvis m er linjens helning og b er skjæringspunktet mellom linjen og den vertikale aksen, er ligningen på linjen y = mx + b.

- Generell ligning av linjen : Ax + By + C = 0, der m = A / B er skråningen.

I det kartesiske planet er vertikale og horisontale linjer spesielle tilfeller av ligningens ligning.

- Vertikale linjer : x = a

- Horisontale linjer : y = k

Figur 3. Til venstre den vertikale linjen x = 4 og den horisontale linjen y = 6. Til høyre et eksempel på en skrå linje. Kilde: F. Zapata.

I eksemplene i figur 3 har den loddrette røde linjen ligning x = 4, mens linjen parallelt med x-aksen (blå) har ligning y = 6. Når det gjelder linjen til høyre, ser vi at den er skrå og for å finne ligningen bruker vi punktene fremhevet i figuren: (0,2) og (4,0) på denne måten:

Snittet av denne linjen med den vertikale aksen er y = 2, som det fremgår av grafen. Med denne informasjonen:

Det er enkelt å bestemme hellingsvinkelen med hensyn til x-aksen. Jeg føler det:

Derfor er den positive vinkelen fra x-aksen til linjen: 180º - 26,6º = 153,4º

Eksempler på skrå linjer

Figur 4. Eksempler på skrå linjer. Kilde: fektere Ian Patterson. Pisas skjeve tårn. Pixabay.

Skrå linjer vises mange steder, det gjelder å være oppmerksom på å finne dem innen arkitektur, sport, ledninger for elektrisk forsyning, rør og mange flere steder. I naturen er de skrå linjene også til stede, som vi vil se nedenfor:

Lysstråler

Sollys beveger seg i en rett linje, men jordas runde form påvirker hvordan sollys treffer overflaten.

På bildet nedenfor kan vi tydelig se at solstrålene treffer vinkelrett i tropiske regioner, men i stedet skrått når overflaten i tempererte strøk og ved polene.

Dette er grunnen til at solstrålene beveger seg en lengre avstand gjennom atmosfæren og også varmen sprer seg over en større overflate (se figur). Resultatet er at områdene nær polene er kaldere.

Figur 5. Solstrålene faller skrått i de tempererte sonene og polene, i stedet er de mer eller mindre vinkelrett i tropene. Kilde: Wikimedia Commons.

Linjer som ikke er i samme plan

Når to linjer ikke er i samme plan, kan de fortsatt være skrå eller skjevt, som de også er kjent. I dette tilfellet er ikke direktørvektorene parallelle, men siden de ikke tilhører det samme planet, krysser ikke disse linjene.

For eksempel er linjene i figur 6 helt tydelig i forskjellige plan. Hvis du ser på dem ovenfra, kan du se at de krysser hverandre, men de har ikke et poeng til felles. På høyre side ser vi hjulene på sykkelen, hvis eiker ser ut til å krysse når de sees fra fronten.

Figur 6. Skrå linjer som tilhører forskjellige plan. Kilde: venstre F. Zapata, høyre Pixabay.

referanser

1. Geometri. Direktørvektor for en linje. Gjenopprettet fra: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Kalkulus med analytisk geometri. Åttende. Edition. McGraw Hill.
3. Matematikk er et spill. Linjer og vinkler. Gjenopprettet fra: juntadeandalucia.es.
4. Rette linjer som krysser hverandre. Gjenopprettet fra: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analytisk geometri i R3. Gjenopprettet fra: dspace.espol.edu.ec.