SIMPSONS REGEL: FORMEL, BEVIS, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2026

Den Simpson 's regel er en metode for å beregne, ca, bestemte integral. Det er basert på å dele integrasjonsintervallet i et jevnt antall like store avstander.

De ekstreme verdiene for to påfølgende delintervaller definerer tre punkter som en parabola, hvis ligning er et andregradspolynom, passer til.

Figur 1. I Simpsons metode er integrasjonsintervallet delt inn i et jevnt antall intervaller med lik bredde. Funksjonen er tilnærmet med en parabola i hver 2. delintervall, og integralen blir tilnærmet summen av området under parabolene. Kilde: upv.es.

Deretter blir området under funksjonens kurve i de to påfølgende intervaller tilnærmet av området for interpolasjonspolynomet. Ved å legge til bidraget til området under parabolen med alle påfølgende delintervaller, har vi den omtrentlige verdien av integralen.

På den annen side, siden integralet av en parabola kan beregnes algebraisk nøyaktig, er det mulig å finne en analytisk formel for den omtrentlige verdien av det bestemte integralet. Det er kjent som Simpson-formelen.

Feilen i det tilnærmet oppnådde resultatet avtar etter hvert som antall underavdelinger n er større (hvor n er et jevnt antall).

Nedenfor vil det bli gitt et uttrykk som gjør det mulig å estimere øvre grense for feilen i tilnærmingen til integralet I, når en partisjon av n regelmessige delintervaller av det totale intervallet er gjort.

Formel

Integrasjonsintervallet er delt inn i n delintervaller med n som et jevnt heltall. Bredden på hver underavdeling vil være:

h = (b - a) / n

På denne måten blir partisjonen laget over intervallet:

{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}

Hvor X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Formelen som gjør det mulig å tilnærme den bestemte integral I av den kontinuerlige, og helst glatte, funksjonen i intervallet er:

Demonstrasjon

For å få Simpsons formel, blir funksjonen f (X) tilnærmet i hvert delintervall med en andre grads polynom p (X) (parabola) som går gjennom de tre punktene :; og.

Deretter beregnes integralet til polynomet p (x) der det tilnærmet integralet til funksjonen f (X) i det intervallet.

Figur 2. Graf for å demonstrere Simpsons formel. Kilde: F. Zapata.

Koeffisienter av interpolasjonspolynomet

Ligningen av parabolen p (X) har den generelle formen: p (X) = AX ² + BX + C. Når parabolen passerer gjennom punktene Q angitt i rødt (se figur), så er koeffisientene A, B, C bestemmes ut fra følgende ligningssystem:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Man ser at koeffisienten C bestemmes. For å bestemme koeffisienten A legger vi til den første og den tredje ligningen som oppnår:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Deretter blir verdien av C erstattet og A blir tømt, og etterlater:

A = / (2 h ² )

For å bestemme koeffisienten B trekkes den tredje ligningen fra den første og B løses, og oppnår:

B = = 2 timer.

Oppsummert har den andre gradens polynom p (X) som går gjennom punktene Qi, Qi + 1 og Qi + 2 koeffisienter:

A = / (2 h ² )

B = = 2 timer

C = f (Xi + 1)

Beregning av omtrentlig integral i

Omtrentlig beregning av integralen i

Som allerede blitt sagt, blir en partisjon {X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn} laget på det totale integrasjonsintervallet med trinn h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, hvor n er et jevnt tall.

Tilnærmingsfeil

Merk at feilen avtar med den fjerde kraften til antall underavdelinger i intervallet. For eksempel, hvis du går fra n underavdelinger til 2n, reduseres feilen med en faktor 1/16.

Den øvre grensen av feilen oppnådd gjennom Simpsons tilnærming kan oppnås fra denne samme formel, idet det fjerde derivat erstattes med den maksimale absolutte verdien av det fjerde derivat i intervallet.

Utførte eksempler

- Eksempel 1

Vurder funksjonen f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Finn det bestemte integralet av funksjonen f (X) på intervallet ved å bruke Simpsons metode med to underavdelinger (n = 2).

Løsning

Vi tar n = 2. Integrasjonsgrensene er a = -1 og b = -2, så partisjonen ser slik ut:

X0 = -1; X1 = 0 og X2 = +1.

Derfor tar Simpsons formel følgende form:

Figur 3. Eksempel på numerisk integrasjon etter Simpsons regel ved bruk av programvare. Kilde: F. Zapata.

referanser

1. Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (Illustrated Edition). Madrid: ESIC-redaksjon.
2. UPV. Simpsons metode. Polyteknisk universitet i Valencia. Gjenopprettet fra: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus Ninth Edition. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Simpsons regel. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange polynom interpolasjon. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com