KRAFTSERIER: EKSEMPLER OG ØVELSER - MATTE - 2026

En kraftserie består av en summering av begreper i form av krefter til variabelen x, eller mer generelt, av xc, hvor c er et konstant reelt tall. I summen notasjon er en rekke makter uttrykt som følger:

Hvor koeffisientene a _o , a ₁ , a ₂ … er reelle tall og serien begynner på n = 0.

Figur 1. Definisjon av en kraftserie. Kilde: F. Zapata.

Denne serien er sentrert om verdien c som er konstant, men du kan velge at c er lik 0, i så fall kraftserien forenkler til:

Serien starter med henholdsvis a _eller (xc) ⁰ og a _eller x ⁰ . Men vi vet at:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Derfor er en _o (xc) ⁰ = a _eller x ⁰ = a _o (uavhengig term)

Det gode med kraftserier er at funksjoner kan uttrykkes med dem, og dette har mange fordeler, spesielt hvis du vil jobbe med en komplisert funksjon.

Når dette er tilfelle, i stedet for direkte å bruke funksjonen, kan du bruke kraftutvidelsesutvidelsen, som kan være lettere å utlede, integrere eller jobbe numerisk.

Alt er selvfølgelig betinget av seriens konvergens. En serie konvergerer når du legger til et visst stort antall ord gir en fast verdi. Og hvis vi fortsatt legger til flere vilkår, fortsetter vi å oppnå den verdien.

Funksjoner som Power Series

Som et eksempel på en funksjon uttrykt som en kraftserie, la oss ta f (x) = e ^x .

Denne funksjonen kan uttrykkes i form av en rekke krefter som følger:

og ^x ≈ 1 + x + (x ^2- / 2!) + (x ^3- / 3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) + …

Hvor! = n. (N-1). (N-2). (n-3)… og det tar 0! = 1.

Vi skal sjekke med hjelp av en kalkulator at seriene faktisk faller sammen med funksjonen som er gitt eksplisitt. La oss for eksempel starte med å lage x = 0.

Vi vet at e ⁰ = 1. La oss se hva serien gjør:

og ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ^2- / 2!) + (0 ^3- / 3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

Og la oss prøve x = 1. En kalkulator returnerer at e ¹ = 2.71828, og la oss sammenligne med serien:

og ^en ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ^3- / 3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Med bare 5 betingelser har vi allerede en eksakt kamp i e ≈ 2.71. Serien vår har bare litt mer å gjøre, men etter hvert som flere vilkår legges til, konvergerer serien absolutt til den eksakte verdien av e. Representasjonen er nøyaktig når n → ∞.

Hvis den forrige analysen gjentas for n = 2, oppnås veldig like resultater.

På denne måten er vi sikre på at eksponentiell funksjon f (x) = e ^x kan representeres av denne maktserien:

Figur 2. I denne animasjonen kan vi se hvordan kraftserien kommer nærmere eksponentiell funksjon etter hvert som flere vilkår tas. Kilde: Wikimedia Commons.

Geometrisk kraftserie

Funksjonen f (x) = e ^x er ikke den eneste funksjonen som støtter en kraftserie-representasjon. For eksempel ser funksjonen f (x) = 1/1 - x mye ut som den velkjente konvergente geometriske serien:

Det er nok å gjøre a = 1 og r = x for å få en serie egnet for denne funksjonen, som er sentrert ved c = 0:

Imidlertid er det kjent at denne serien er konvergent for │r│ <1, derfor er representasjonen bare gyldig i intervallet (-1,1), selv om funksjonen er gyldig for alle x, bortsett fra x = 1.

Når du vil definere denne funksjonen i et annet område, fokuserer du ganske enkelt på en passende verdi og du er ferdig.

Hvordan finne serien utvidelse av kreftene til en funksjon

Enhver funksjon kan utvikles i en kraftserie sentrert på c, så lenge den har derivater av alle ordrer ved x = c. Prosedyren benytter seg av følgende teorem, kalt Taylor's teorem:

La f (x) være en funksjon med derivater av orden n, betegnet som f ⁽ⁿ⁾ , som innrømmer en serieutvidelse av krefter på intervallet I. Hans serieutvikling av Taylor er:

Så det:

Hvor R _n , som er den niende termin av serien, kalles en rest:

Når c = 0 kalles serien Maclaurin-serien.

Denne serien som er gitt her er identisk med serien gitt i begynnelsen, bare nå har vi en måte å eksplisitt finne koeffisientene til hvert begrep gitt av:

Vi må imidlertid sørge for at serien konvergerer til funksjonen som skal representeres. Det hender at ikke alle Taylor-serier nødvendigvis konvergerer til f (x) som man hadde i tankene når man beregnet koeffisientene ved _n .

Dette skjer fordi kanskje derivatene av funksjonen, evaluert ved x = c, sammenfaller med den samme verdien av derivatene til en annen, også ved x = c. I dette tilfellet ville koeffisientene være de samme, men utviklingen vil være tvetydig ettersom det ikke er sikkert hvilken funksjon den tilsvarer.

Heldigvis er det en måte å vite:

Konvergenskriterium

For å unngå tvetydighet, hvis R _n → 0 som n → ∞ for alle x i intervallet I, konvergerer serien til f (x).

Trening

- Trening løst 1

Finn den geometriske kraftserien for funksjonen f (x) = 1/2 - x sentrert ved c = 0.

Løsning

Vi må uttrykke den gitte funksjonen på en slik måte at den sammenfaller så nært som mulig med 1 / 1- x, hvis serie er kjent. Så la oss skrive om teller og nevner uten å endre det opprinnelige uttrykket:

1/2 - x = (1/2) /

Siden ½ er konstant, kommer den ut av summasjonen, og den er skrevet i form av den nye variabelen x / 2:

Merk at x = 2 ikke hører til funksjonens domene, og i henhold til konvergenskriteriet gitt i delen Geometric Power Series, er utvidelsen gyldig for │x / 2│ <1 eller tilsvarende -2 <x <2.

- Trening løst 2

Finn de første 5 begrepene i utvidelsen av Maclaurin-serien av funksjonen f (x) = sin x.

Løsning

Trinn 1

Først er derivatene:

-Derivativ av rekkefølge 0: det er den samme funksjonen f (x) = sin x

-Første derivat: (sin x) ´ = cos x

- Andre derivat: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Tredde derivat: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Fjerderivat: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Steg 2

Deretter evalueres hvert derivat ved x = c, som er en Maclaurin-ekspansjon, c = 0:

synd 0 = 0; cos 0 = 1; - synd 0 = 0; -cos 0 = -1; synd 0 = 0

Trinn 3

Koeffisientene a _{n er konstruert} ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

Trinn 4

Endelig er serien satt sammen i henhold til:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Trenger leseren flere ord? Hvor mange flere er serien nærmere funksjonen.

Legg merke til at det er et mønster i koeffisientene, den neste termen som ikke er null, er en _5, og alle de med en merkelig indeks er også forskjellige fra 0, og veksler skiltene, slik at:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Det blir liggende som en øvelse for å sjekke at det konvergerer, kvotientkriteriet kan brukes til konvergens av serier.

referanser

1. Stiftelsen CK-12. Power Series: representasjon av funksjoner og operasjoner. Gjenopprettet fra: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integral Calculus. National University of the Litoral.
3. Larson, R. 2010. Beregning av en variabel. Niende. Edition. McGraw Hill.
4. Matematikk gratis tekster. Kraftserie. Gjenopprettet fra: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Kraftserie. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.